- •2. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду. Условия равновесия произвольной системы сил
- •3. Растяжение и сжатие стержня. Продольная сила. Условия прочности при растяжении
- •1. Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Метод Крамера и Гаусса.
- •2. Модель идеального совершенного газа. Интеграл Бернулли для адиабатических течений совершенного газа. Сопло Лаваля
- •3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек тела
- •1. Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Размерность
- •3. Движение твердого тела вокруг одной неподвижной точки. Скорости и ускорения точек тела
- •1. Разностные схемы для ур-й мат физики. Явные и неявные разностные схемы, условия их устойчивости. Метод прогонки
- •2. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек тела
- •3. Кручение стержня круглого поперечного сечения. Крутящий момент. Условия прочности и жесткости при кручении.
- •1. Линейные операторы и их матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Нормальные формы матрицы линейного оператора
- •1. Кривые второго порядка. Их канонические уравнения
- •2. Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений
- •3. Изгиб балки. Нормальные и касательные напряжения. Условие прочности
- •Касательные напряжения в продольных сечениях балки
- •Проверка прочности и подбор сечения балки
- •1. Поверхности второго порядка. Их канонические уравнения
- •2. Уравнения Лагранжа 2-ого рода
- •3. Модель идеальной жидкости. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •2. Общие теоремы динамики точки
- •1. Элементы теории поля. Поток, дивергенция, ротор вектора. Теорема Гаусса-Остроградского. Теорема Стокса
- •2. Прямолинейные колебания материальной точки
- •2. Движение точки в поле центральных сил. Формулы Бине
- •2. Движение планет. Закон всемирного тяготения.
- •3. Энергетические методы определения перемещений. Теорема Кастилиано. Интеграл Мора. Правило Верещагина.
- •1. Формула Тейлора и ее остаточный член
- •2. Определение траектории материальной точки в ньютоновом поле тяготения. Искусственные спутники Земли
- •3. Гравитационные волны в идеальной жидкости
- •1. Ряды Фурье. Основные свойства коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя
- •2. Движение несвободной материальной точки. Плоский математический маятник.
- •3. Канонические уравнения метода сил при изгибе балок и рам
- •1. Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда.
- •2. Динамика относительного движения материальной точки. Относительный покой и относительное движение вблизи поверхности Земли.
- •2. Общие теоремы динамики системы
- •3. Устойчивость упругих стержней. Критическая сила
- •1. Степенные ряды и их свойства. Интервал и радиус сходимости
- •2. Динамика точки переменной массы. Уравнение Мещерского. Задача Циолковского
- •3. Слоистые течения. Течение Пуазейля, течение Куэтта, течение под действием силы тяжести
- •2. Принцип возможных перемещений
- •3. Постановка задач теории упругости в компонентах перемещений и напряжений
- •1. Достаточные условия сходимости ряда Фурье
- •2. Поверхности разрыва внутри идеальных сжимаемых сред. Адиабата Гюгонио
- •3. Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений точек тела
- •1. Определение интеграла Римана и достаточные условия его существования
- •2. Уравнения Лагранжа 2-ого рода
- •3. Свойство упругого равновесия изотропного тела при отсутствии массовых сил
- •2. Канонические уравнения движения системы
- •3. Основы теории пограничного слоя. Уравнения Прандтля
- •1. Элементы теории поля. Поток, дивергенция, ротор в-ра. Т-ма Гаусса-Остроградского. Т-ма Стокса
- •2. Вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Давление на ось
- •3. Уравнения Ламе движения упругого тела в перемещениях
- •1. Элементы теории поля. Поток, дивергенция, ротор в-ра. Т-ма Гаусса-Остроградского. Т-ма Стокса
- •2. Движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Кинематические уравнения Эйлера
- •3. Основы теории пограничного слоя
- •1. Группа,поле, кольцо
- •2. Динамические уравнения Эйлера
- •3. Представление решений уравнений Ламе в форме Папковича-Нейбера
- •1. Определение и примеры конформных отображений
- •2. Первые интегралы. Проблема 4-го интеграла. Элементарная теория гироскопа
- •3. Модель идеальной жидкости и газа. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости. Сопло Лаваля
- •1. Интегральная теорема Коши
- •Доказательство
- •2. Элементарная теория гироскопов. Движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
- •3. Кручение призматических стержней произвольного постоянного поперечного сечения
- •1. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Тейлора
- •2. Принцип Остроградского-Гамильтона
- •3. Модель идеального совершенного газа. Интеграл Бернулли для адиабатических течений совершенного газа. Сопло Лаваля
- •1. Теорема о представимости функции рядом Лорана
- •2. Действие удара на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Центр удара
- •3. Уравнения Ламе движения упругого тела в перемещениях
- •3. Кручение стержня круглого поперечного сечения. Крутящий момент. Условия прочности и жесткости при кручении.
- •1. Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация
- •2. Общие теоремы динамики системы
- •3. Изгиб балки. Нормальные и касательные напряжения. Условие прочности
- •Касательные напряжения в продольных сечениях балки
- •Проверка прочности и подбор сечения балки
- •1. Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •2. Динамика точки переменной массы. Уравнение Мещерского. Задачи Циолковского
- •3. Слоистые течения. Течение Пуазейля, течение Куэтта, течение под действием силы тяжести
- •1. Линейные неоднородные ду n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных
- •2. Теория удара системы материальных точек. Действие удара на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси
- •3. Устойчивость упругих стержней. Критическая сила
- •2. Постановка задач теории упругости в компонентах перемещений и напряжений
- •1. Решение смешанной задачи для уравнения колебаний струны методом Фурье
- •2. Свойство упругого равновесия изотропного тела при отсутствии массовых сил
- •3. Движение несвободной материальной точки. Плоский математический маятник
- •1. Решение смешанных задач для уравнения теплопроводности методом Фурье
- •2. Динамика относительного движения материальной точки
- •3. Одномерные нестационарные течения газа и их характеристики
- •1. Классическая вероятность. Теоремы сложения и умножения. Формула полной вероятности. Биномиальное, нормальное и пуассоновское распределения
- •2. Движение твердого тела около неподвижной точки. Скорости и ускорения точек тела
- •3. Представление решений уравнений Ламе в форме Папковича-Нейбера
- •2. Движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Кинематические уравнения Эйлера
- •3. Базовые принципы мкэ в механике деформируемого твёрдого тела
- •1. Кривизна и кручение. Формулы Френе
- •3. Основные понятия и определения мкэ. Определение и свойства матриц жёсткости, упругости, функций формы, градиентов
- •1. Классификация линейных уравнений в частных производных 2-ого порядка. Примеры уравнений основных типов
- •2. Способы генерации конечно-элементных моделей
- •3. Задача о сильном взрыве в газе
- •1. Случайные величины и их полные характеристики. Характеристическая функция случайной величины и ее свойства. Закон больших чисел
- •2. Кручение призматических стержней произвольного постоянного поперечного сечения
- •3. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду. Условия равновесия произвольной системы сил.
- •1. Линейные однородные ду n-го порядка. Структура общего решения
- •2. Канонические уравнения движения системы
- •1. Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка граничных задач. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Функции Грина
- •2. Движение точки в поле центральных сил. Формулы Бине
- •3. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки
- •1. Разностные схемы для ур-й мат физики. Явные и неявные разностные схемы, условия их устойчивости. Метод прогонки
- •2. Основные этапы решения задач механики в пакетах компьютерной механики (на примере пакетов ansys и nastran)
- •3. Двумерное стационарное движение газа. Уравнение Чаплыгина
- •1. Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Метод Крамера
- •2. Устойчивость равновесия механической системы. Теорема Дирихле
- •3. Растяжение и сжатие стержня. Продольная сила. Условия прочности при растяжении.
- •1. Разностные схемы для ур-й мат физики. Явные и неявные разностные схемы, условия их устойчивости. Метод прогонки
- •2. Принцип Остроградского-Гамильтона
- •3. Канонические уравнения метода сил при изгибе балок и рам
- •1. Численные решения систем алгебраических уравнений. Метод исключения. Метод итераций. Теорема о сходимости
- •2. Слоистые течения вязкой жидкости. Течение Пуазейля. Течение под действием силы тяжести
- •3. Движение точки в поле центральных сил. Закон всемирного тяготения
- •1. Численное решение уравнений. Метод итерации, его сходимость. Метод Ньютона, его геометричсексий смысл
- •2. Определение траектории материальной точки в ньютоновом поле тяготения. Искусственные спутники Земли
- •3. Модель вязкой жидкости. Уравнения Навье - Стокса
- •1. Численное решение оду. Метод Рунге-Кутта
- •2. Принцип возможных перемещений. Уравнение Даламбера-Лагранжа
- •3. Задача о сильном взрыве в газе
- •1. Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •2. Общие теоремы динамики системы материальных точек
- •3. Модель идеальной жидкости. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости
- •1. Степенные ряды и их свойства. Интервал и радиус сходимости
- •2. Динамика точки переменной массы. Уравнение Мещерского. Задача Циолковского
- •3. Трансзвуковые течения. Уравнение Эйлера–Трикоми. Особенности сверхзвукового обтекания тел
- •1. Численное решение оду. Метод Рунге- Кутта
- •2. Методы четвертого порядка точности.
- •2. Устойчивость равновесия механической системы. Теорема Дирихле
- •3. Свойство упругого равновесия изотропного тела при отсутствии массовых сил
2. Принцип возможных перемещений
Мех. сис-ма – мн-во точек, движение и положение которых зависит от движения и положения всех остальных.
Связи – условия, которые налагают ограничения либо только на положение (геом. связь), либо также и на скорость движения точек сис-мы (кинематическая связь).
Перемещения, совершаемые движущейся точкой за определённый промежуток времени и зависящие от закона движения будем называть истинными перемещениями.
Любое элементарное перемещение, которое может быть сообщено из занимаемого в дан. мом. времени положения при сохранении наложения на неё связей будем называть виртуальными(возможными) перемещениями.
Геом. связи могут быть склерономными (стационарными) и реономными (нестационарными), а так же неосвобождающими (которые точка покинуть не может) и освобождающими(может покинуть). Пр-р: - склерономн. неосвоб.- реономн. освоб.
Истинное перемещение может принадлежать чслу виртуальных, но не всегда.
Постулат идеальных связей: Для идеальных связей сумма элемю работ реакций этих связей при любом виртуальном перемещении либо равна 0, если связи неосвобождающие, либо =0 или >0 для освобождающих связей. или
Принцип возможных перемещений:
Для рановесия сис-мы мат. точек со склерономными идеальными связями необх. и дост., чтобы сумма элем. работ всех действующих на сис-му активн. сил при любом виртуальном перемещении = 0 (для неосвобожд. связей) или 0 (освобожд. связей )
Д-во: Н) Пусть сис-ма состоит из n точек находящихся в равновесии: . Дадим каждой из них виртуальное перемещение:Учитывая постулат идеальной связи получим:
Д) Пусть . Докажем от противного. Допустим что одно из точек перешла в движение – нет равновесия
Под действ точка получает истинное перемещ-енаправл-ое по(т.к. движение из сост. покоя). Т.к. связи стационарны то истинное перем-е совпадает с возможным =>=>. Т.к. связи идеальны и неосвобожд. то=>-противоречиеУравнение Даламбера-Лагранжа Мех. сис-ма – мн-во точек, движение и положение которых зависит от движения и положения всех остальных.
Связи – условия, которые налагают ограничения либо только на положение (геом. связь), либо также и на скорость движения точек сис-мы (кинематическая связь).
Перемещения, совершаемые движущейся точкой за определённый промежуток времени и зависящие от закона движения будем называть истинными перемещениями.
Любое элементарное перемещение, которое может быть сообщено из занимаемого в дан. мом. времени положения при сохранении наложения на неё связей будем называть виртуальными(возможными) перемещениями.
Геом. связи могут быть склерономными (стационарными) и реономными (нестационарными), а так же неосвобождающими (которые точка покинуть не может) и освобождающими(может покинуть).
Постулат идеальных связей: Для идеальных связей сумма элемю работ реакций этих связей при любом виртуальном перемещении либо равна 0, если связи неосвобождающие, либо =0 или >0 для освобождающих связей. или
Принцип Даламбера-Лагранжа:
Пусть есть си-ма из n материальных точек с неосвоб. идеальными связями, тогда для любой точки сис-мы согласно принципу Даламбера имеет место ур-ние:
Сообщим точкам системы виртуальное перемещение и полученные равенства сложим
- по постулату идеальных связей, тогда
- ур-ние Даламбера-Лагранжа (общее ур-ние динамики) (принцип Даламбера-Лагранжа: для механической системы с идеальными неосвобождающими связями, движущейся относительно инерциальной системы координат, в любой момент времени выполняется равенство нулю суммы элементарных работ активных сил и сил инерции на любом виртуальном перемещении)
В проекциях: