3. Представление решений уравнений Ламе в форме Папковича-Нейбера

Запишем систему Ламе (общий вид ур-ний и еще + 2 ур.) при х=у=z=0 в виде

- Объемное расширение

Положим =, где- пока неопределенная функция. Система Ламе имеет вид:

так как

или

Общее решение , где- общее решение,- частное решение

Получим решение системы Ламе в ф. Гродского-Папковича-Нейбера

Билет 36 1. Классификация линейных уравнений в частных производных 2-ого порядка. Примеры уравнений основных типов. Постановка начальных и граничных задач

Опр.1. Уравнением с частными производными называется называется выражение вида :

(1), где F(~) – заданная функция, - искомая функция. Порядком уравнения называют наибольший порядок частной производной, входящей в уравнение (1).

Опр.2. Уравнение (1) называется линейным, если функция F линейна относительно искомой функции u и всех ее производных.

Линейное уравнеение 2-го порядка с частными производнымии имеет вид:

(2), где ,,c(x) – коэфф-ты, а f(x)- правая часть.

(3) Переписали (1) для линейного уравнения 2-го порядка в частных производных (F - линейная).

Опр.3. Уравнение (3){(1)} называется квазилинейным, если функция F линейна относительно старших производных.

Общий вид квазилинейного уравнения 2-го порядка:

()

Опр.4. Квазилинейное уравнение называется, почтилинейным, если его коэффициенты зависят лишь от независимых переменных.

Почтилинейное уравнения 2-го порядка: ()

Примеры: 1),,пространственные переменные,t – время, .Это уравнение описывает колебательный процесс.

При n=1 это уравнение колебания струны, а при n=2 – мембраны.

Перепишем (2) в виде (коэффициенты не зависят от х)

(4) обозначим :

Поставим в соответствие (4) характеристическую форму (5)

(5) с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду: ,(6)

Это преобразование не единственно, но всилу закона энерции квадратичной функции кол-во сохраняется.

Предположим что ур-ние (4) с помощью некоторого невырожденного преобразования можно привести к виду: (7)

Тогда (7) называется каноническим Видом (4).

Классификация: Обозначим r - число _, s - число

r+s=n, т.е. все коэф-ты либо 1, либо -1.

1а) либо r=0, либо s=0  (4) называется эллиптическим.

1b) r0, s0  (4) называется гиперболическим, при этом, если r=1, либо s=1 , то (4) называется нормально гиперболическим (струна, мембрана). Иначе (4) называется ультрагиперболическим.

r+s<n , т.е. есть  (4) называется параболическим (уравнени теплопроводности).

2а) Если r=0 или s=0, то уравнение называется эллиптико-параболическим.

2b) Если r0 или s0, то уравнение называется гиперболо-параболическим.

2. Движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Кинематические уравнения Эйлера

Т.к. тело имеет одну неподвижную точку , зн.оно имеет 3 степени свободы. Вводим 3 пар-ра – углы Эйлера(они однозначно определяют положение тела)

ОК- линия узлов-угол нутации-угол собств.вращения

OZ-ось собств.вращен.

- ось прецессии

OK- ось нутации

(проекциина оси НСК)

3. Базовые принципы мкэ в механике деформируемого твёрдого тела

Математическая модель - сист. диф. ур. описывающих явления, процесс, объект сист.

Физическая модель- совокупность основных свойств и параметров явления, процесса, объекта, системы и описания модели.

Найти решение точно практически не возможно, обычно пользуются приближёнными методами.

Дискретизация- представление объекта, процесса, системы ввиду составных частей (разбиение).

МКЭ - пример физической дискретизации - система разбивается на КЭ и сам КЭ- физический объект.

Объёмные и поверхностные нагрузки по принципу возможных перемещений «состоят»:

Условие: интеграл от направления на возможных деформаций (по принципу возможный перемещений):

(1)

(2)

- закон Гука (3) где,

введём некую матрицу, включающую дифф. операторы(3а) подставим (3) в (2) :(4) вводят связь для элемента функции перемещения в виде (5)

- непрерывное перемещение в любой точке (5) Вектор условных перемещений выбранных треугольных элементов

- чем больше узлов тем точнее

Функции формы - перемещения по узлам перемещения в любой точке (6)- матрица из координатx,y,zи их степеней.

вектор из коэфф.

соответствующие узлы

(6) подставим в (3а) и дифф. (6) по соотношениям (3а)

Получим связь (7) В – матрица градиентов.Через угловые перемещения можно найти деформацию

(7) в (4)

- вектор деформаций

(8)- матрица жёсткости элемента (9)(10)- соотношение для внешних нагрузок

Ур. равновесия элемента

глобальная матрица жёсткости

Этапы решения

1. Дискретизация

2. Нумерация

3. Построение матриц и векторов отдельных конечных элементов

4. Формирование [K] и {F} всей системы

5. Учёт граничных условий

Решение С.Л.А.У.

Билет 37