3. Уравнения Ламе движения упругого тела в перемещениях

- ур-е движения в напряжениях

Используя з-н Гука для изотропного тела

, где и уравнений совместности

Получаются диф-е ур-я Ламе , где

Здесь . Уравнения (6) называются уравнениями Ламе или же уравнениями движения (а при – уравнениями равновесия) в перемещениях. Эти уравнения чаще всего используются в теории упругости для решения 2–ой основной задачи – определения напряженно-деформированного состояния тела по заданным на его границеS перемещениям, а в случае зависимости решения от времени t – при заданных на S граничных условиях

и начальных условиях для всех точек тела

Билет 28 1. Основная теорема о вычетах

Пусть регулярна на множестве, тогда по т. Лорана, функция представима в виде. Опр. Вычетом функциив т.наз. коэф.и обозн.. Из ф-лы коэф-та ряда Лорана следует. Отсюда.

1. устранимая особая точка. В этом случае=0 (т.к. главн часть р. Лорана =0)

2. полюсa) порядок полюса 1

Если то

б) полюс порядка m произв-я порядкаm-1

3. существенно особая точка. Для вычисления использ-ся либо опред. Либо формулу

Опр. Пусть тогда. Еслито

.

Основная теорема вычетов: Пусть регулярна в огранич. односвязной области за исключением конечного числа изолир особых точекиизолир замкнут кривая, содерж в себе изолир точки. Тогда.

Следствие: Пусть регул во всей расширенной компл пл-ти за исключением, тогда сумма вычеты во всех особых точках и в травна 0.2. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения)

Рассм-м мех-ю систему n точек с произв-ми голономными и неголономными идеальными связями, движущуюся отн-но инерциальной системы коор-т под действием активных сил (j,1,N)

Опр. Функция гдекинематически допустимые ускорения точек си-мы, наз-ся принуждение по Гауссу

Пр-п Гаусса: в каждый момент времени действительное движение с-мы отличается от всех кинематически возможных тем, что на действительном дв-ии принуждение по Г принимает минимальное значение где варьируются только ускорения. Ф-яZ есть мера отклонения за время положения точек системы в кинематически допустимом движении от положения точек этой с-мы при её движении без учета связей

- ур-я движения системы (в отличие от Лагранжа 1-го рода верны при каких угодно связях системы. (наиболее общий принцип механики)

3. Кручение стержня круглого поперечного сечения. Крутящий момент. Условия прочности и жесткости при кручении.

Гипотеза 1. При кручении круглого вала его сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Гипотеза 2. Радиусы в поперечных сечениях, прямые до деформации, остаются прямыми и после деформации, поворачиваясь на один и тот жe угол, равный углу закручивания сечения.

Гипотеза 3. Нормальные напряжения в продольных и поперечных сечениях вала не возникают. Материал вала при кручении испытывает чистый сдвиг.

Гипотеза 4. Закон Гука: τ = γ G (G – модуль упругости при сдвиге, γ – угол поворота при кручении).

Внутренние усилия М_к, возникающие при кручении вала, называются крутящими моментами. Условимся считать крутящий момент положительным, если при взгляде на сечение снаружи (со стороны внешней нормали сечения) увидим его направленным против часовой стрелки (правило правого винта).

Совокупность касательных напряжений при кручении должна быть эквивалентна внешней нагрузке, т.е. крутящему моменту. Сумма моментов элементарных сил по всему сечению должна равняться моментуM_k имеем:

, т.к. ., где - полярный момент инерции площади круга. ТогдаЕсли на участке длинойвеличина, то. Касательные напряжения можно выразить следующим образом:. Опасные точки вала располагаются у поверхности. Сравнение максимальных действующих напряжений с допускаемыми касательными напряжениями для материала вала дает условие прочности. Из условия прочности можно определить необходимый диаметр вала

Жесткость вала при кручении определяется произведением GJ_p.

Условие жёсткости: , где- допускаемый относительный угол закручивания, задаваемый в угловых градусах (минутах) на единицу длины или в радианах на единицу длины.

Условие жесткости позволяет определить потребный диаметр вала

Билет 29