1. Кривизна и кручение. Формулы Френе

Кривизна. Пусть— регулярная кривая с натуральной параметризациейи пусть— угол между касательными в точкахи.Тогда величинаназ-сякривизной, а радиусом кривизны кривой в точке(это скорость поворота касательной при движении точки по кривой).для натуральной и произвольной параметризаций соответственно.

Кручение. Пусть— регулярная кривая с натуральной параметризациейи пусть— угол между бинормалями в точкахи.Тогда величинаназ-сякручением кривой в точке(это скорость поворота вектора бинормали).для натуральной и произвольной параметризаций соответственно.

Формулы Френе. — для натуральной пар-ции—в матр. виде Формулы Френе задают разложение произвольных базисных векторов репера Френе по базису Френе. Задать формулы Френе — значит задать кривизну и кручение.2. Движение абсолютно твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Кинематические уравнения Эйлера

Т.к. тело имеет одну неподвижную точку , зн.оно имеет 3 степени свободы. Вводим 3 пар-ра – углы Эйлера(они однозначно определяют положение тела)

ОК- линия узлов-угол нутации-угол собств.вращения

OZ-ось собств.вращен.

- ось прецессии

OK- ось нутации

(проекциина оси НСК)

3. Основные понятия и определения мкэ. Определение и свойства матриц жёсткости, упругости, функций формы, градиентов

Основное ур. МКЭ

[k]-матрица жёсткости. Физический смысл; столбец матрицы жёсткости представляет собой усилие, которое необходимо приложить к элементу, чтобы один из узлов сдвинулся на единицу, а другой остался неподвижным.

Свойства: 1) диагональная симметричная матрица

2) сумма элементов в столбце равна нулю

3) определитель равен нулю

Способ учёта г.у.

В матрице жёсткости добавляют условия, отвечающие за смещение или покой на границе

Из матрицы жёсткости вычёркивают строки и столбцы, отвечающие нулевым смещениям

Стандартная форма записи аппроксимаций в МКЭ

, где - матрица функций формы.

Физ.смысл: аппроксимирует смещения системы смещениями узлов (даёт коэффициент соответствия)

Свойства: функции формы равны 1 в узлах, к которой относятся, а во всех других =0

Это свойство исполняется на этапе проверки соотношений и алгоритмов.

Закон Гука (связь напряжений и деформаций) записывается с помощью матрицы упругости [D]:

_,

Элементы матрицы упругости – коэфф. зависящие от .

Деформации с перемещениями связанные с помощью матрицы градиентов:

Физ. Смысл: выражает деформацию через узловые смещения.

Энергия

Плотность энергии . Матр энергии- обобщённый импульс

Интеграл при векторе скоростей перемещений – аналог массы, поэтому матрица инерции.

Билет 38

1. Классификация линейных уравнений в частных производных 2-ого порядка. Примеры уравнений основных типов

Опр.1. Уравнением с частными производными называется называется выражение вида :(1), гдеF(~) – заданная функция, - искомая функция. Порядком уравнения называют наибольший порядок частной производной, входящей в уравнение (1).

Опр.2. Уравнение (1) называется линейным, если функция F линейна относительно искомой функции u и всех ее производных.

Линейное уравнеение 2-го порядка с частными производнымии имеет вид:(2), где,,c(x) – коэфф-ты, а f(x)- правая часть.

(3) Переписали (1) для линейного уравнения 2-го порядка в частных производных (F - линейная).

Опр.3. Уравнение (3){(1)} называется квазилинейным, если функция F линейна относительно старших производных.

Общий вид квазилинейного уравнения 2-го порядка:

()

Опр.4. Квазилинейное уравнение называется, почтилинейным, если его коэффициенты зависят лишь от независимых переменных.

Почтилинейное уравнения 2-го порядка:

()

Примеры: 1),,пространственные переменные,t – время, .Это уравнение описывает колебательный процесс.

При n=1 это уравнение колебания струны, а при n=2 – мембраны.

Перепишем (2) в виде (коэффициенты не зависят от х)

(4)

обозначим :

Поставим в соответствие (4) характеристическую форму (5)

(5) с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к каноническому виду: ,(6)

Это преобразование не единственно, но всилу закона энерции квадратичной функции кол-во сохраняется.

Предположим что ур-ние (4) с помощью некоторого невырожденного преобразования можно привести к виду: (7)

Тогда (7) называется каноническим Видом (4).

Классификация:

Обозначим r - число ,s - число

r+s=n, т.е. все коэф-ты либо 1, либо -1.

1а) либо r=0, либо s=0  (4) называется эллиптическим.

1b) r0, s0  (4) называется гиперболическим, при этом, если r=1, либо s=1 , то (4) называется нормально гиперболическим (струна, мембрана). Иначе (4) называется ультрагиперболическим.

r+s<n , т.е. есть  (4) называется параболическим (уравнени теплопроводности).

2а) Если r=0 или s=0, то уравнение называется эллиптико-параболическим.

2b) Если r0 или s0, то уравнение называется гиперболо-параболическим.