1. Численное решение уравнений. Метод итерации, его сходимость. Метод Ньютона, его геометричсексий смысл

Рассм. Уравнение f(x)=0 (1)

Его решение м.б. а) точным б) приближенным

Процесс численного решения:

1. отделение корня x*, f(x*)=0, т.е. нахождение отрезка [a,b] на котором существует x* - решение уравнения (1)

2. уточнение корня, т.е.нахождение [c,d] из [a,b], |d-c|<, такого чтоx* принадл. [c,d]

Отделение. Теорема: если функция f непрерывная на [a,b] и меняет знак на концах, то существует хотя бы один корень уравнения (1) на [a,b]

Уточнение.

Метод половинного деления. На концах отрезка [a,b ] функция имеет разные знаки. Проверяем знак в середине отрезка, и продолжим деление так чтобы знаки были на концах разные. Так мы найдем [d,c], |d-c|<

Метод итерации. Приведем f(x)=0 к виду x=(x). х0- начальное значение.

Строим последовательность xn+1=(xn)

Если (xn) непрерывная и существует предел (xn)=x*, такой что x*=(x*), x*-корень

Дост.усл. сходимости: пусть (х) наS={x: |x-x0|<} удовлетворяет

1) усл.Липшица |(x`)-(x``)|<q*((x`)-(x``)) q<1

2) |(x0)-x0|<=(1-q)

тогда x* принадл. S, x*=(x*) и x*=lim xn, где xn+1=(xn)

и выполняется неравенство |x*-xn| <= (qk/1-q) |(x0`)-x0`|

Метод Ньютона (метод касательных)

Точка пересечения графика с осью ох – корень уравнения. Выделим на графике точку (xn, f(xn))

в этой точке проведем касательную к графику y=f(x)

до пересечения с осью ox.

Уравнение касат. можно запесать в виде

y – f(xn) = f ` (xn) / (x-xn)

если принять y=0 то мы получим коорд точки пересечения с осью иксов, обозначим ее абсциссу через xn+1

в итоге

xn+1 = xn – f(xn) / f `(xn)

2. Определение траектории материальной точки в ньютоновом поле тяготения. Искусственные спутники Земли

Точка массой m движется под действием силы, притягивающей ее к неподвижному центру и обратно пропорциональной расстоянию, т.е. , где ,- постоянная Гаусса. Определим траекторию точки, для чего воспользуемся формулой Бине:, общее решение этого неоднородного д. у. с учетом выражения:, где, а- константы интегрирования. Это уравнение конического сечения. Полная начальная энергия точки:,- начальная скорость,- расстояние до притягивающего центра. Если, то траектория эллипс,– парабола,- гипербола.

Искусственные спутники Земли. Космические объекты, описывающие замкнутую траекторию вокруг небесного тела, называют его спутником. Тело, движущееся в поле земного притяжения будет спутником Земли, если в любой точке траектории : , а приэто возможно лишь для, иP и M совпадают (т.е. перигей искусственного спутника совпадает с его начальным положением). Рассмотрим условия запуска спутника. Земля считается неподвижной, движущееся тело будет рассматривать как точку, имеющую массу, сопротивлением воздуха пренебречь.– радиус Земли. Определяем величину Гауссовой постоянной для Земли. Выражение для эксцентриситета и преобразованного уравнения траектории примут вид при:и=>или. Таким образом, чтобы тело, брошенное с высотыпревратилось в ее искусственный спутник,необходимо выполнение условий: 1) угол который составляет начальная скорость с горизонтом равен 0; 2) начальная скорость (т.к.e<1 – эллиптический, e=1 – параболический, e>1 – гиперболический типы траекторий, –1-ая космическая скорость,–2-ая косм. скорость.