3. Слоистые течения. Течение Пуазейля, течение Куэтта, течение под действием силы тяжести

Класс точных решений урвынений Новье-Стокса давольно узок.

1.Течение Куэтта- течение между параллельными стенками,одна из которых движется с постоянной скоростью

Массовые силы отсутствуют,движение жидкости между стенками называют движением верхней границы.

;;; => =>=>;

- начальные условия

Стационарное решение: ;из 1го условия

- линейный профиль; - значение Ньютона

Расход жидкости через поперечное сечение :

Средняя скорость-расход жидкости на площадь попер. Сечения

2. Течение между двумя параллельными стенками под действиемперепада давления- течение Пуазейля.

;

Решение ищем в виде:

- уравнение неразрывности тождественно выполняется =>

При при- условие прилипания.

- стационарная задача делим на:

;

=>

h всегда>y Максимальная скорость при y=0

3. Течение вязкой жидкости под действием силы тяжести.

Линии тока параллельны OX:

(;)

Граничные условия:

- свободная поверхность ; - уравнение неразрывности;(нормальные напряжения) касательные=0 т.к.- отсутствуют касательные напряжения

Будем считать, что движение формируется лишь под действием силы тяжести:

а -стационарная задача

при y=h

при ;при

Билет 31

1. Линейные неоднородные ду n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Линейное неоднородное ДУ n-го порядка имеет вид

соотв ЛОДУ. С помощью Линейного диф-го оператора можно переписать в виде

Теорема Если частное решение (1), а- любое решение 2, торешение (1).

Теорема об общем решении ЛОДУ.

Если ФСР то любое решение допускает представление

Теорема об общем решении ЛНДУ. Если ФСР ЛОДУ, ачастное решение (1), то.

Теорема Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Если для ЛОДУ (2) известна ФСР то при любом неоднородном членерешение уравнения (1) выразиться при помощи квадратур над изв функциями=

2. Теория удара системы материальных точек. Действие удара на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси

Пусть твердое тело может вращаться вокруг неподвижной оси, которую примем за ось z прямоугольной системы координат Oxyz, связанной с телом. Если на это тело подействовал ударный импульс активных сил, то он вызовет ударные импульсы реакций, проходящих через эту ось. Т.к. этот случай движения можно рассматривать как движение твердого тела, имеющего две неподвижные точки A и B, то ударные импульсы реакции оси можно свести к двум импульсам и, приложенных в соответствующих точках. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента дадут уравнения:

т.к, то

Здесь М – масса тела, а - радиус-вектор центра масс С.

Определим условия при которых ударный импульс не действует на ось вращения, т.е. когда:

При таком выборе сис-мы координат:

Итак, для того чтобы ударный импульс не передавался на ось необходимо вып. след. условий:

1) Ось вращения должна быть главной осью инерции для одной из своих точек О.

2) Ударный импульс лежит в плоскости перпендикулярной к оси вращения и прох. через точку О.

3) Ударный импульс перпендикулярен плоскости прох. через центр масс и ось вращения.

4) Точка пересечения ударного импульса с этой плоскостью должна находиться с той же стороны от оси вращения, что и центр масс и отстоять на расстоянии η

3. Устойчивость упругих стержней. Критическая сила

Устойчивость первого рода  нарушение устойчивости равновесия деформируемых тел, происходящее вследствие отклонений от формы равновесия, которые не могут быть вызваны действующей нагрузкой.

Устойчивость второго рода  нарушение устойчивости, происходящее вследствие того, что сопротивление деформированию с возрастанием нагрузки уменьшается или остается постоянным ввиду возникновения пластических деформаций.

Наиболее общий случай потери устойчивости первого рода для сжатых стержней любого профиля  изгибная форма устойчивости.

Рассмотрим прямолинейный стержень с шарнирно-закрепленными концами, показанный на рисунке 1, сжатый силой .

Рисунок 1  Стержень с шарнирно-закрепленными концами

Отклонение от прямолинейно формы равновесия состоит в искривлении оси стержня. В этом случае для любого сечения имеем . (1)

На основании дифференциальной зависимости между прогибом и изгибающим моментом ( момент инерции сечения относительно нейтральной оси)

, или с учетом формулы (1) .

Обозначим . Тогда.

Отсюда .

Из граничных условий имеем ,.

Таким образом . (2) Выражение (2) описывает критическое состояние и позволяет найти критическую силу ,

Практический интерес представляет наименьшая критическая сила ():. (3)

Формула (3) впервые получена Л. Эйлером, поэтому критическая сила называется также эйлеровой критической силой.

Критическую силу в случае любого закрепления концов стержня можно определить по формуле (3), если в ней длину стержня заменить длиной полуволны синусоиды, по которой изгибается стержень при данном закреплении. Обозначим длину полуволны . Тогда. В рассмотренных нами случаях имеем:

а) при шарнирном закреплении концов, показанном на рисунке ,(количество длин полуволн показано на рисунке 2, а);

б) при заделке одного конца стержня ,(количество длин полуволн показано на рисунке 2, б);

в) при шарнирном закреплении одного конца стержня и защемлении другого конца ,(количество длин полуволн показано на рисунке 2, в);

г) при заделке двух концов стержня ,(количество длин полуволн показано на рисунке 2, г);

а	б	в	г
Рисунок 2  Количество длин полуволн для стержней с различными закреплениями концов

Т.о, формула Эйлера (3) для определения критической силы принимает вид: , (4)

где  коэффициент приведения длины.

Для шарнирно закрепленного стержня , для стержня с заделанными концами; для стержня с одним заделанным и другим свободным концом; для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом.

Отметим, что по формуле (4) критическую силу следует вычислять по значению главного центрального момента инерции (за исключением случаев, когда закрепления концов стержня в различных плоскостях различны).

Билет 32 1. Решение задачи Коши для уравнения колебаний струны методом характеристик

Рассм. однор. волновое ур-е:

Струна – натянутая нить, не сопротивляющ. Изгибу НУ: (2)

Ур-е характеристик для (1):

Это ур-е раскладывается на 2:

Введем новые переменные: ур. колеб. струны в кан. виде:

Общий интеграл (3) имеет вид:

Переходим к старым переменным, получим:

Интегрируя 2-е равенство получим: получим:

С физической т. зрения общ реш з. Коши для беск. струны предст. собой суперпозицию 2-х волн:

Решение м. представить в виде суммы:

Если нач. скор равна 0, то отклон.есть сумма левой и правой бегущих волн, причем нач. форма обеих волн опред. ф-цией 0.5= половине нач. отклонения.

Если =0, топредставляет возмущ. струны, создаваемое ноч. скоростью.