1. Элементы теории поля. Поток, дивергенция, ротор вектора. Теорема Гаусса-Остроградского. Теорема Стокса

Дана обл-ть().

Будем говорить, что в обл задано скалярное поле, если тставится в соотв по известному закону число. Еслитставится в соотв по известномузакону некот в-р если, то гов-ят, что в облзадано векторное поле.

Задание векторного поля заданию ф-ции, а задание скалаярного поля

Поле наз диф-мым, если ф-ции идиф в обл.диф скал поле. Тогда в-рназградиентом скалярного поля в т. Обозн

В данном случае скалярное поле порожд векторное поле градиента - вектор, кот по напр-ю и своему значению характеризует скорость возрастания ф-ции.

, где - оператор Гамильтона.

Опр. поле - диф векторное поле, тогда векторназ ротором векторного поляи обозн

Если рассм как поле скоростей при движении тв тел, то с точностью до множителя ротор этого поля дает угловую скорость.

Опр. поле- диф векторное поле, тогда величинаназ дивиргенцией вект полев ти обозн.

При движении несжим жидк при наличии источников (или стоков) дивергенция хар-ет плотность источника (стока). диф вект поле порождает вект поле его ротора и скалярное поле его дивергенции.

;

Св-ва.

1)

2) (- оп-р Лапласа)

3)

Опр. Этот инт-л наз потоком в-рач/з пов-тьв указ направлении.

Теорема Стокса.

Рассм вект поле некоторой кривой.- проекция в-рана ед в-р касательной

Опр. лин интл в поле вдоль . Еслизамкнута, то инт-л назыв циркуляцией вдоль .

,..

Если в-р - в-р силы, то этот лие интеграл предст собой работу сил поля вдоль кривой.

Теорема Стокса.

Циркуляция в-ра вдоль кривой равно потоку ротора в-рач/з пов-ть, натянутую на эту кривую

2. Прямолинейные колебания материальной точки

1) Рассмотрим движение точки массой m, под действием восстанавливающей силы . Если начальная скоростьбудет равна 0 или направлена по силе, то движение точки будет прямолинейным. За ось Ох примем траекторию точки.

х

x

0M

Составим д.у. : ,

Введём постоянные интегрирования: – ур-е гармонического колебания.

Пусть при t=0 ; a­­­­­­–?,–?

;

Амплитуда и начальная фаза зависят от НУ, а частота колебаний от НУ не зависит.

2) x

x где

0 M

где ,.

Рассмотрим следующие случаи:

a) b>k (большое сопротивление)

движение затухающее, апериодическое, частота уменьшается, Т увеличивается, при колебания исчезают.

b) b=k

; – движение затухающее, апериодическое, здесь при резонансе не будет бесконечно возрастающей амплитуды.

c) b<k (малое сопротивление) ;

; –колебат. движение, т.к. sin–период. функция;

затухающее.

3) x

x

0 M

, где – неоднородное уравнение

–частое решение неоднородного уравнения.

, , где–собств-е колебания,– вынужденные колебания. В случае p=k:,

В случае, когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, а амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает – явление резонанса.

3. Модель идеальной жидкости. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости Опр: жидкость наз-ся идеальной, если на площадке соприкосновения двух движущихся объектов действуют лишь нормальные силы давления. Касательные силы трения=0 в случае идеальной жидкости. - по нормали.

Тензор напряжений:

Уравнения движения идеальной жидкости и газа.

Так как нет касательных напряжений, т.е.

; -коэф.вязкости в уравнении Новье-Стокса:

• получаем уравнения Эйлера:-замкнутая система

-уравнение неразрывности

Уравнения Эйлера в декартовых координатах + уравнение неразрывности:

Интеграл Бернулли

Опр: Линии тока- линии, такие что в данный момент времени t касательная к линии совпадает с вектором скорости.(L)

- диф. уравнение линий тока.

Предположим, что выполняются условия: 1. движение установившееся

2. внешние силы потенциальны: 3. условие баротропии

Тогда ;;

=>=>- интеграл Бернулли

где - функция давления

1. ρ=const => ; 2.=>

Интеграл Бернулли справедлив вдоль линий тока или вихревых линий - вектор вихря

Интеграл Коши-Лагранжа

Предположим: 1) жидкость идеальна 2) движение не установившееся,

3) движение потенциально т.е - потенциал скоростей 4) движ-е баротропно, т.е

Вводим функцию давления

Т.к , то потенциальное течение безвихревое=>

=> =>

(из уравнения движения идеальной жидкости в форме Громеко-Лэмба)=>

введем

поле скоростей не изменяется =>- интеграл Коши-Лагранжа (позволяет определить давление)

Билет 10

1. Непрерывность ф-й одной и нескольких переменных. Равномерная непрер-ть. Теорема Кантора Опр: Ф-я f наз непрерывной в т а : 1) 2) f определена в т. А 3) равенство между пределом и значением ф-и в данной т. Опр: f непрер. в т. а f непрер. в т. а справа , т.е. f непрер. в т. а слева , т.е. Теорема: Для того, чтобы ф-я f была непрер. в т. а  чтобы она была одновременно непрер. справа и слева. f – непрер., если т. а – изолированная, если в ее окр-ти нет точек мн-ва, т.е. , кот. не имеет др. точек мн-ваX, кроме т. а.

Классификация точек разрыва:

1. т. устранимого разрыва хар-ся тем, что

2. т. разрыва 1 рода:

3. т. разрыва 2 рода: хотя бы 1 из односторонних пределов не  или =.

Опр. Ф-я наз. равномерно непрер. на мн-веX, если

Теорема Кантора. Непрерывная на промежутке ф-я явл. равномерно непрер. на этом промежутке.

наз. базой - с-ма открытых мн-в {Ġ(х₀)}, где Ġ(х₀)=ů(х₀) ∩ Х

Опр. наз. равномерно непрер. на Х, если

Теорема Кантора. Непрер. на замкн. огр. мн-ве ф-я f равном. непрер. на этом мн-ве.

наз. непрер. в т. , если

Теорема. Для того, чтобы ф-я была непрер. в т коорд. ф-и были непрер. в т., гдеi=1,m.