1. Степенные ряды и их свойства. Интервал и радиус сходимости

Опр. Степенным рядом наз. ф-ный ряд вида: или.

Лемма. Если степ ряд (1) сход для , то он сход абсолютно для уд н-ву

Следствие. Если в некот т ряд (1) расх, то он расх :

Опр. Пусть , где точная верхняя грань берется по мн-ву всех аргументов , при которых ряд сходится. Тогданаз радиусом сходимости степ ряда (1). Кругназ кругом сходимости ряда (1). Если, то ряд сх-сяЕсли, то ряд сх-ся в одной т

Теорема. Степ ряд (1) сход равномерна на любом замкн. Промежутке, лежащем внутри интервала сходимости ()

Замеч. В точках окр-ти ряд (1) может как сходится так и расходится

Теорема. Если конечный предел , то радиус сх-ти степ ряда.

Теорема. Радиус сх-ти степ ряда вычисл по ф-ле

2. Динамика точки переменной массы. Уравнение Мещерского. Задача Циолковского

Систему (тело), масса которой непрерывно изменяется со временем принято называть сис-мой(телом) переменной массы. Если тело движется поступательно и проходимые им расстояния велики, то тело можно рассматривать как точку переменной массы. Диф. ур-ние движения точки переменой массы – масса тела в моментt, - масса присоединяющихся точек,- масса отделяющихся точек. Система состоит из,, причём сис-мы они образуют лишь в момент времениt. Результат наших рассуждений будет корректным если (теорема об изменении главного вектора количества движения)

- абсолютная скорость присоединяющихся точек - абсолютная скорость отделяющихся точек

- деля обе части равенства на и переходя к пределуполучим:- уравнение Мещерского.

-относительная скорость присоединения(отделения)

- реактивная сила

1-я задача Циолковского – определение закона поступательного движения ракеты вне поля сил (т.о. полагаем ). Уравнение Мещерского принимает вид:

=> => Считая относительную скорость истечения продуктов сгоранияпостоянной и полагая прирезультат интегрирования- з-н изменения скорости.- масса корпуса,- масса топлива,- скорость ракеты в конце активного участка.=>- ф-ла Циолковского,- число Циолковского. Предельная скорость зависит от начальной скорости, от скорости истечения продуктов сгорания, числа Циолков-го и не зависит от режима сгорания топлива.=>

2-я задача Циолковского – определение закона движения в однородном поле силы тяжести =>- з-н сгорания топлива (- постоянный коэффициент, характеризующий скорость изменения массы) =>=> вертикальный подъем возможен при,.

3. Слоистые течения. Течение Пуазейля, течение Куэтта, течение под действием силы тяжести

Класс точных решений урвынений Новье-Стокса давольно узок.

1.Течение Куэтта- течение между параллельными стенками,одна из которых движется с постоянной скоростью Массовые силы отсутствуют,движение жидкости между стенками называют движением верхней границы.

;;; =>=>=>;

- начальные условия

Стационарное решение: ;из 1го условия

- линейный профиль;- значение Ньютона

Расход жидкости через поперечное сечение :

Средняя скорость-расход жидкости на площадь попер. Сечения

2. Течение между двумя параллельными стенками под действиемперепада давления- течение Пуазейля.

;

Решение ищем в виде: - уравнение неразрывности тождественно выполняется =>

При при- условие прилипания.- стационарная задача

делим на :;

=> h всегда>y

Максимальная скорость при y=0

3. Течение вязкой жидкости под действием силы тяжести.

Линии тока параллельны OX:

(;)

Граничные условия:

- свободная поверхность ; - уравнение неразрывности;(нормальные напряжения) касательные=0 т.к.- отсутствуют касательные напряжения

Будем считать,что движение формируется лишь под действием силы тяжести:

а -стационарная задача

при y=h при;при

Билет 17 1. Сопровождающий трехгранник кривой. Кривизна и кручение. Формулы Френе Параметризация. Фигура называетсякривой, если для любой точки существует окрестностьви отображениетакое, что: 1)взаимно непрерывное отображение 2)При этом параназ-сяпараметризацией окрестности в. Параметрическая криваярегулярна, если в любой точке этой кривой , ибирегулярна , если не коллинеарен, т.е..

Репер Френе. Репер — тройка некомпланарных (непараллельных одной плоскости) векторов. Пусть задана бирегулярная кривая , тогда с любой точкойможно связать репер,,, где— касательная, нормаль и бинормаль. Плоскость, образованная— соприкасающаяся,— нормальная,— спрямляющая.

Натуральная параметризация. Параметризация называетсянатуральной, если (значит, точка движется с единичной скоростью, то есть при деформации длина интервала не меняется). Такая параметризация всегда существует.

Длина дуги. Длиной дуги кривойназывается число

Кривизна. Пусть— регулярная кривая с натуральной параметризациейи пусть— угол между касательными в точкахи.Тогда величинаназ-сякривизной, а радиусом кривизны кривой в точке(это скорость поворота касательной при движении точки по кривой).для натуральной и произвольной параметризаций соответственно.

Кручение. Пусть— регулярная кривая с натуральной параметризациейи пусть— угол между бинормалями в точкахи.Тогда величинаназ-сякручением кривой в точке(это скорость поворота вектора бинормали).для натуральной и произвольной параметризаций соответственно.

Формулы Френе. — для натуральной пар-ции—в матр. виде Формулы Френе задают разложение произвольных базисных векторов репера Френе по базису Френе. Задать формулы Френе — значит задать кривизну и кручение.