3. Растяжение и сжатие стержня. Продольная сила. Условия прочности при растяжении

Внутренние усилия и характер деформаций при растяжении и сжатии абсолютно аналогичны и равноценны, а отличаются только направлением. Условимся считать положительными усилия и деформации растяжения, а при сжатии эти же величины будем считать отрицательными (- нормальная составляющая,- касательные составляющие полного напряженияp, где p=FA (A- площадь наклонного сечения (напр, рис. в), A=A₀/cosα) ).

Связь между σ_α, τ_α и наибольшим нормальным напряжением ()

Эта зависимость носит также название закона парности касательных напряжений.

Для расчета на прочность наибольший интерес представляют площадки, перпендикулярные оси, в которых действуют наибольшие нормальные напряжения σ. Равнодействующая N этих напряжений называется продольной силой. Для определения нормальных напряжений необходимо строить эпюру продольных сил.Вектор положительной продольной силы направлен вдоль внешней нормали к площадке, т.е. «от площадки». Он вызывает растяжение стержня. Вектор отрицательной продольной силы N направлен «к площадке».Прочность детали при простом растяжении (сжатии) можно оценить, сравнивая действующие в ней максимальные напряжения с предельными напряжениями, определяемыми для данного материала экспериментальным путем. Предельными напряжениями считаются такие, при которых хрупкий материал разрушается , а пластичный материал получает недопустимо большие пластические деформации - течет.

Формула проверки прочности: σ = P/F ≤ [σ]. Формула проверки грузоподъёмности: P ≤ [σ] F.

Формула определения необходимых размеров по условию прочности: F ≥ Р/[σ].

EF – жесткость, E - модуль Юнга. Проверка стрежня на жёсткость: ε = N/EF ≤ [ε].

Закон Гука для стержня: ΔL = PL/EF

Билет 2

1. Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Метод Крамера и Гаусса.

Действия над матрицами: сложение (вычитание), умножение матрицы на число, произведение двух матриц (число столбцов первой из которых равно числу строк второй, ассоциативно, дистрибутивно, но не коммутативно (если выполняется коммутативность, то матрицы перестановочные)) ().

Опр 1.1: Матрица называетсяобратной по отношению к квадратной матрице , если

.Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю.

Опр1.2: Определитель - это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. Т.е., определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы определитель равен нулю. Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.

Свойства определителя:

1. Если переставить две строки (или два столбца) определителя, то определитель изменит знак.

2. Если соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.

3. Значение определителя не изменится, если поменять местами строки и столбцы, сохранив их порядок.

4. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.

Метод Крамера: Рассмотрим систему уравнений 

На первом шаге вычислим определитель  , его называют главным определителем системы.

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя: и 

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой .

Корни уравнения находим по формулам: , 

Метод Гаусса: Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении задачи, расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над ее строками приводится к ступенчатому виду. Далее последовательно находятся все неизвестные, начиная снизу вверх.