3. Гравитационные волны в идеальной жидкости

Классификация:

1.гравитационные-под действием силы тяжести, или если поверхность жидкости выведена из горизонтального положения.

2.копилярные- возникающие под действием сил поверхностного натяжения.

3.приливные- притяжение к солнцу и луне

4.корабельные- в следствие движения твердого тела в жидкости.

5. упругие- смешанных средах, состоят в поперечном сжатии и растяжении частиц жидкости или газа.

Гравитационные:

Идеальная жидкость, в поле силы тяжести, может быть ограничена твердыми поверхностями.

Уравнение движения идеальной жидкости:

(уравнение Эйлера) (τ – период колебаний, a – амплитуда, λ – длина волны )

Граничные условия: на_(дно) ( на условия не ставятся)

Предположим, что амплитуда возмущения << длины волны:

Проведем оценку членов уравнения Эйлера:

(т.к. основное перемещение по вертикали) τ-период колебания

; (т.к. квадратным членом можно принебречь)

,

Берем операцию rot от обеих частей (в правой части 0, т.к. rot(grad) = 0):

Const т.к. волновые движения переодические по координатам,то осредненное значение по периоду с=0 => => волновое движение жидкости под действием силы тяжести безвихревое. Введем потенциал. => подставляем в уравнение неразрывности =>(- оп-р Лапласа)

Вывод: волновые движения под действием силы тяжести – безвихревые, потенциальные, удовлетворяют уравнению Лапласа для потенциала скоростей.

Т.к. движение потенциально, то справедлив интеграл Коши – Лагранжа:

( пренебрегаем в силу малости)

Граничные условия: при

Т.к. колебания малы, рассмотрим колебания вблизи точки равновесия z=0 пол. Равновесие => Решение ищем в виде волны:;

k-волновое число (мода волны возмущения) - уравнение поверхности

- синусоида - амплитуда

- период колебания

Гребни + подошвы = пучности

К-ты узлов и пучностей: -узлы-меняется-не меняется-кучности- не меняется-меняется

Вывод: в кучностях колебания частиц происходит в вертикальном направлении, а в узлах в горизонтальном

Уравнение линий тока:

- стационарные линии тока около точки равновесиясовпадают с траекторией, т.е. с прямой

Билет 13

1. Ряды Фурье. Основные свойства коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя

Пусть иммется система ортогональных функций­

Система функций называется полной, если функцию можно разложить по этой системе, т.е. найдутся такие коэф., чтопри

Рядом Фурье для функции по ортогональной системеназывается ряд:

, где - коэф. ряда Фурье.

Th. (Минимизирующее свойство коэф-в Фурье)

Пусть есть ортогональная система функций . Пустьразложена по ней в ряд Фурье с коэф.. Тогда для любого набора коэф-ви длясправедливо неравенство:

что

Доказательство: оценим норму .

==

Очевидно, что первые два слагаемых от не зависят. Последние слагаемые обращается в нуль только когда. Таким образом разностьминимальная при. Т.е. если мы хотим получить ряд, лучшим образом приближающий к истинному значению, то ряд Фурье – самый предпочтительный

Неравенство Бесселя:

Пусть есть ортонормированная система ф-ций . Пустьразложена в ряд Фурье пос коэф.. Тогда рядсходится и справедливо неравенство Бесселя:

.

Из доказательства предыд. теоремы возьмем равенство

, где , т.к.В силу неотрицательности левой следует,n- произвольное, а правая часть от n не зависит, следов. ряд сходится, следов. приполучаем неравенство Бесселя:

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов