3. Двумерное стационарное движение газа. Уравнение Чаплыгина
Рассмотрим двумерные стационарные течения газа.
Ур неразрывности:
Ур движения:
Система незамкнута,
поэтому добавим ур адиабатичности:
Если течение
осесимметричное
,
то оно не зависит от
.
В этом случае
Ур неразрывности
,
если
=1
–плоское,
=2
– осесимметричное.
Остальные уравнения остаются прежними.
Теперь введем функцию
тока
:
Движение удобно рассматривать в естественной системе координат.
Установим связь.
В дальнейшем будем
рассматривать
- плоскость годографа.
Возьмем
.
Тогда:
Уравнения движения:
энтропия
постоянна вдоль линии тока. Система
замкнута, неизвестны
Чтобы получить уравнение
Чаплыгина, рассмотрим потенциальное
двумерное стационарное установившееся
течение. Вихри отсутсвуют,
Вводим потенциал:
.
Введем функцию
(1)
В дальнейшем будем
пользоваться ур неразрывности сжимаемой
среды
.
Переходим от
описанным ранее способом.
Найдем
:
(1)
Подставляя (2) и выражения
для
в
Чтобы получить ур,
определяющее
,
используем:
где
Домножим на
и получим
Из
уравнения Эйлера вдоль линии тока
Подставив
последнее в (*) , получим уравнение
Чаплыгина:
В
общем случае решается методом разделения
переменных.
Билет 43
1. Матрицы и действия над ними. Определители и их свойства. Обратная матрица. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Метод Крамера
Опр.
М-ца размерности
(
,
)
– это таблица, которая заполнена числами
изR
(действ. числа)
или C
(комплекс.):
,
,
.
- мн-во всех м-ц разм.
на поле вещ. чисел.
М-цы размерности
называются квадратными;
- вектор-строка;
- вектор-столбец;
- нулевая м-ца (все эл-ты - нули);
- единичная м-ца.
Операции над матрицами:
сложение:
,
Св-ва: коммутативно,
ассоциативно,
является нулем для сложения,
м-ца
обладает противоположной
,
т.е.
.
умножение:
производится по правилу «строка на столбец»:
,
,
Част. случай:
,
,
,
.
Св-ва:
(ассоц.);
,
- размер.
;
,
;
,
.
умножение на скаляр:
,
,
Св-ва:
;
;
;
.
транспонирование:
,
,
,
Св-ва:
;
;
.
,
.
Определитель м-цыA
обозначается
,
или
.
Пр-ры: n=1:
- число;n=2:
и т.д. Опр-ль м-цыA
= сумме своих членов. Член опр-ля
-произв. эл-в м-цыA,
взятых по 1-му из кажд. стр. и кажд. столб.
со зн. + или -. Пусть из 1-й стр. в член
опр-ля взят эл-т
,
из второй -
и т.д. Из опр-я члена опр-ля
- перест.
.
И наоборот, кажд. перест.
дает член опр-ля.
,
где
- кол-во инверсий в этой перест. И:Опр.
.
Основные св-ва определителей: (все написанное ниже верно и для столбцов)
Th.
1 (вынес-е
общ. множ. из строки). Пусть B
получена из A
умножением всех эл-в какой-либо (одной)
строки на число
,
то
.
Д-во:
/т.к.
,
при
/
.
Th.
2 (расщепл.
по стр.). Пусть i-я
стр. м-цы A
имеет вид:
,
,
...,
.
Тогда
,
гдеB
получ. из A
зам-й ее i
стр. на стр.
,
аC
– зам-й i
стр. на стр.
.
(Верно и для случ. > 2-х слаг-х).
Д-во:
при
,
/раскр.
скобки и груп./
.
Th.
3 Если в A
две строки пропорциональны, то
.
Д-во: Пусть проп. i
и k
стр. м-цы A,
т.е.
,
.
Достат. д-ть, что
,
если вA
две =-е стр., т.к. по Th
«вынесение общего множит. за скобки»:
.
Идея док-ва:
,
(i<k).
Из усл. Th
члены опр-ля расп-ся на пары взаим. обр-х
вида:
.
,
т.к.
,
.
Th.
4 М-ца B
получ. из A
прим-м элем. пр-я (к i
стр. + k,
*-я на ч.
),
тогда
.
Д-во:
=/Th
«расщ-е по стр.»/=
=/Пред.Th/
=
.
Th. 5 Опр-ль м-цы меняет знак при перест. 2-х строк.
Д-во:
.
Th.
6 Опр-ль
трансп. м-цы = опр-лю исх. м-цы:
.
(
,
что все св-ва опр-й, полученные выше для
строк, справедливы и для столбцов).
Th.
7 (произв.
квадрат. м-ц).
,
А и В – квадр. м-цы одного порядка.
Д-во: По Th
4 и Лемме (
м-цыA
справ.: 1.
- получ. изA,
если к i
стр.+ j
стр., умн-ю на
;
2.
- получ. изA,
если к j
столб. + i,
умнож-й на
)
,
гдеC
– произв. м-ца, P
– элемент.
,
и
- элем. ПоTh
(
кв. м-цаA
м.б. предст. в виде:
,
,
где
,
- элем., а
и
- верх. тр. м-цы)
,
,
и
.
Опр. в. тр. м-цы = *-ю диаг. эл-в
,
и
.
Опр.
.
Обратная матрица к
- такая
,
что
.
Th.
(критерий обратимости). Обратная м-ца к
.
При этом:
.
Опр.
Системой
линейных ур-й с
неизвестными наз-ся система вида:
(1)
.........................................
- нек. числа (причем
наз-ся коэф-ми, а
своб-ми чл-ми),
-
неизв.
Рассм.
cист.
лин-х ур-й с
неизвестными. Ее матрич. зап.:
,
(2)
где:
,
,
.
Th.
(правило Крамера). Если
,
то система (2) имеет единственное решение,
которое считается следующим образом:
,
,...,
,
где
- опр-ль м-цы
,
полученной из
заменой
-го
столбца на столбец
.
Д-во:
Т.к.
,
то
.
Получаем:
.
Достаточно
проверить, что
имеет вид:
.
,
/разложение
по
-му
столбцу/
.
Осталось только заметить, что
(т.е. алгебраич. дополнение к позиции
)
равно
в м-це
.
,
.
Отсюда
,
что
,
т.е.
.Th
док-на.