2. Кручение призматических стержней произвольного постоянного поперечного сечения

Рассмотрим призматический стержень длиной L с произвольным постоянным поперечным сечением. Боковая поверхность свободна от напряжений. К основаниям стержня приложена пара моментов величины M. Объемных сил нет. Пусть точка O – любая точка поперечного сечения. Воспользуемся принципом Сен-Венана и сделаем предположения относительно деформации.

А. Поперечное сечение при поворачивается вокруг осиотносительно сеченияна угол, гденеизвестно

Б. Если то

Находим

Пусть угол поворота мал

Тогда

Итак

Находим компоненты тензора малых деформаций по формуле

Подставляем потом в закон Гука и находим напряжения

Подставляем в ур-я равновесия

далее следовательно

Граничные условия на С,

ГУ: при

1-й подход (хватит и одного!)

Пусть тогда(10)

ГУ перепишем в виде

(11)

Заметим что

на С (12)

Функция Ф наз-ся функцией кручения

Задача (10-12) наз-ся граничной задачей Неймана

Т.о Ф –гармоническая ф-я в с определенной нормальной производной на С. Проинтегрируем 12 на С

Получаем (13)

М-но док-ть что из условия 13 следует, что функция Ф находится однозначно с точностью до произвольной постоянной.

Найдем крутящий момент

Используя теорему Грина имеем

(13)

Где D – крутильная жесткость стержня, J – полярный момент инеции поп. сечения отн-но О

Из 13 находим и находим зн-я напряжений и тд

3. Приведение произвольной системы сил к простейшему виду. Условия равновесия произвольной системы сил.

Статика– раздел механики, который изучает равновесие механических систем или тел под действием сил. Величина, являющаяся мерой механического взаимодействия материальных тел называетсясилой.

Основная лемма. Всякая сила, приложенная к абсолютно твёрдому телу, в данной точек А, эквивалентна той же силе, приложенной в точке В, и паре, момент которой, равен моменту силы приложенной в точке А относительно точки В.

Пусть есть произвольная система сил действующая на абсолютно твёрдое тело, расположенная как угодно в пространстве. Выберем произвольный центр О и перенесем все силы системы в этот центр. От пересечения каждой силы, мы получим силу и пару, момент которой равен моменту переносимой силы относительно выбранного центра О. Складывая все силы в центре О, получим одну результирующую силу.

(1) Складывая моменты вех пар, получим векторный момент результирующей пары :(2) Величина, равная векторной сумме всехcил системы (1) называетсяглавным векторомсистемы, а величина, равная сумме моментов вех сил системы относительно центра О (2) называетсяглавным моментомотносительно центра О. Таким образом, любую пространственную систему сил, приведенную к центру О, заменим на приложенную в этом центре результирующей силой, равной главному вектору системыи результирующей парой, момент которой равен главному моменту системыотносительно центра приведения.

При изменении центра приведения главный вектор останется без изменений, поэтому он сам представляет собой 1-й инвариант пространственной системы сил по отношению к изменению центра приведения, т.е..

=>=>=> ‑ 2-ым инвариантом системы будет скалярное произведение, т.е проекция вектора момента на направление главного вектора постоянна и не зависит от центра приведения. Векторыиназываютсяэлементами приведениясистемы.

1) Приведем полученную систему к винту.

Винт ‑ совокупность силы и пары, вектор момента которой коллинеарен силе (), или же совокупность силы и пары сил, лежащие в ортогональных плоскостях.

Разложим исходный вектор момента на две составляющие и. Выберем точку приведениятак, чтобы возникающий момент уравновешивал. Т.е мы можем нашу систему привести к винту, зная уравнение винтовой оси.

Т. к. , используя, получаем.

2) ,в этом случае система сил приводится к одному результирующему вектору, который в таком случае называется равнодействующим. Если, то равно действующая будет проходить через центр О.

Эти условия являются необходимыми и достаточными, чтобы система имела равнодействующую.

3) ,главный вектор системы не зависит от выбора центра приведения. Система приводится к паре сил с, где О – произвольный центр.

4) ‑ система сил находится в равновесии. Последние условие даёт необходимое и достаточное условие равновесия произвольной системы сил:

(3)

Если спроектировать (3) на оси координат, то для пространственной системы сил получим 6 – уравнений

,,

а для плоской ‑ 3 уравнения:

ТЕОРЕМА 3-х моментов. Для равновесия плоской системы силсумма моментов относительно 3-х точек, не лежащих на одной прямой, равнялась 0.

Очевидно, т. к. момент относительно любой точки = 0.

ТЕОРЕМА.Для равновесия плоской системы силсумма моментов относительно 2-х произвольных точек и сумма проекций всех сил на произвольную ось, не перпендикулярно к прямой, соединяющей эти точки = 0.

Систему сил, линии действия которых пересекаются в одной точке будем называть сходящейся.

ТЕОРЕМА. Если система сил сходящаяся, тогда пространственная система имеет 3 уравнения равновесия, а плоская – 2 уравнения.

Билет 40