1. Численные решения систем алгебраических уравнений. Метод исключения. Метод итераций. Теорема о сходимости

Методы решения ЛАУ бывают точными и итерационными. Один из точных методов – метод исключения (метод гаусса) Дана система Ax=f (1), A=(aij), f=(fi) – заданы

(2)

Выбираем в каком либо уравнении ненулевой коэфициент при неизвестной, и делим на него все уравнение. Без ограничения общности, пусть это будет коэф. X11

Далее для исключения х11 из остальных уравнении системы умножим первое уравнение последовательно на х21 х31 х41 и тд и вычтем из соответствующих уравнений.

Получим систему с n-1 неизвестным, с n-1 уравнениями (без первого уравнения). Подвергнем ее аналогичному преобразованию.

Пусть m – последний возможный шаг по данной схеме.

А) m=n тогда xn=fn и

(3)переход от 2 к 3 – переход Гаусса

из 3 можно последовательно выразить все xi – обратный ход Гаусса.

Б) m<n

если все fm+1...fn ==0 то система имеет множество решении и мы можем выразить x1...xm через xm+1...xn. В противном случае система не имеет решении.

Метод итерации. Дана система уравнении Ax=f, det A !=0, A>0 (Ax,x)>0

Запишем систему в каноническому виде x=(x)

преобразование =>) (4)

итерационный процесс строится по правелу xn+1=(xn)

H() =- называется матрицей перехода к следующему шагу.

Xn – итерационная последовательность.

- погрешность метода

Теорема о сходимости: пусть xk – итерациооная последовательность. Построенная по методу (4). - стационарный параметр, х0 – любое начальное приближение. Тогда для сходимостиxk к x* достаточным является: . При этом сходимость линейная.

2. Слоистые течения вязкой жидкости. Течение Пуазейля. Течение под действием силы тяжести

Класс точных решений урвынений Новье-Стокса давольно узок.

1.Течение Куэтта- течение между параллельными стенками,одна из которых движется с постоянной скоростью

Массовые силы отсутствуют,движение жидкости между стенками называют движением верхней границы.

;;;

=> =>=>;

- начальные условия

Стационарное решение: ;из 1го условия

, - линейный профиль;- значение Ньютона

Расход жидкости через поперечное сечение :

Средняя скорость-расход жидкости на площадь попер. Сечения

2. Течение между двумя параллельными стенками под действиемперепада давления- течение Пуазейля.

;

Решение ищем в виде:

- уравнение неразрывности тождественно выполняется =>

При при- условие прилипания.

- стационарная задача

делим на :

;

=>

h всегда>y

Максимальная скорость при y=0

3. Течение вязкой жидкости под действием силы тяжести.

Линии тока параллельны OX:

(;)

Граничные условия:

- свободная поверхность ; - уравнение неразрывности;(нормальные напряжения) касательные=0 т.к.- отсутствуют касательные напряжения

Будем считать,что движение формируется лишь под действием силы тяжести:

а -стационарная задача

при y=h

при ;при

3. Движение точки в поле центральных сил. Закон всемирного тяготения

Точка под действием центральной силы движется по плоской траектории с постоянной секторной скоростью, т.е. так, что радиус-вектор точки за равные промежутки времени заметает равные площади.

Из теоремы об изменении момента количества движения –интеграл площадей.

Введём полярные координаты ,,введём переменную,,;.

–первая формула Бине. Вторая формула Бине из теоремы об изменении кинетической энергии:;, где– проекцияF на r.

“+” – сила отталкивания, “–“ – сила притяжения.

, .

–вторая формула Бине + , закон движения.

Первая формула Бинэ (из th об изменении момента количества движения):

Вторая формула Бинэ (из th об изменении кинетической энергии):

Законы Кеплера:

4. Все планеты и кометы описывают вокруг Солнца плоские орбиты, следующие закону площадей.

5. Орбиты являются коническими сечениями, в одном из фокусов которых находится Солнце.

6. Квадраты звездных времён обращения планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их орбит

Законы Кеплера дают кинематическую картину движения небесных тел.

Из первого закона что действующая на планету сила −центральная и ее центр находится в центре Солнца.

Второй закон определяет траекторию планеты. Уравнение канонического сечения в полярных коорд, полюс которых расположен в центре Солнца, имеет вид: гдеe– эксцентриситет,

–фокальный параметр, а–большая ось,b–малая

Из второй формулы Бинэ можно найти силу , где– постоянная Гаусса,, получаем закон изменения силы, действующей на планету со стороны Солнца:

Из третьего закона , чтоопределяется только протягивающим центром и не зависит от движущихся в его поле тел.

–сила, с кот-й тело 1 притягивает тело 2

–сила, с кот-й тело 2 притягивает тело 1

Из закона равенства действия и противодействия , где− гравитационная постоянная, тогда– закон всемирного тяготения: два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Билет 46