1. Векторные пространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Размерность

Пусть ― ― произвольное поле,. Мн-вобудем называтьвекторным (линейным) пр-вом над полем , если определены две операции: «+» : , которое ставит в соответствие пареи удовл. след. усл-ям:

1) коммутативность, ;

2) ассоциативность, ;

3) нейтральный элемент, т.ч.;

4) обратный элемент, т.ч..

«» :, которое ставит в соответствие паре, которая наз-ся умножением вектора на скаляр и удовл. след. усл-ям:

1) ассоциативность умн-я на скаляр, ;

2) дистрибутивность умн-я на скаляр, ;

3) ;

4) .

Линейная зависимость. Сис-ма векторов наз-сялинейно зависимой, если коэф-ты, среди которых хотя бы один, что вып-ся усл-е:.

Линейная независимость. Сис-ма векторов наз-сялинейно независимой, если из того, что лин. комбинация .

Критерий линейной зависимости. Сис-ма векторов линейно зависима 1)хотя бы один вектор явл. комбинацией всех остальных; 2) хотя бы один вектор выражается через предыдущие (где).

Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейна зависима.

Базис. Конечная упорядоченная линейно независимая система векторов наз-сябазисом пр-ва ,еслидругой вектор, явл-ся лин. комбинацией этих векторов.

Опр. Если в пр-ве ,есть базис, пр-во наз-сяконечномерным.

Th. вектор единственным образом выражается через базис.

Коорд-ми в-ра в базисе наз-ся коэф-ты разложенияпо базису:,

Координаты суммы двух векторов равны сумме соответствующих коэф-тов.

Координаты произведения вектора на число равны произведению числа на координаты

Число векторов, входящее в базис наз-ся размерностью пространства .

2. Теория звука. Волновое уравнение Движение сжимаемой среды, представляющее собой малые возмущения некоторого равновесного состояния газа, изучается в акустике. Под теорией звука будем понимать малые возмущения среды по отношению к основным величинам.

Запишем уравнения движения среды:

Уравнение состояния

Если − изоэнтропическое течение− уравнение адиабаты Пуассона

Возмущения малы

Преобразуем уравнение неразрывности: (так как)

, так какв силу осн. ур-ния

Покажем, что возмущенное движение является потенциальным

по теореме Томпсона

− для несжимаемой жидкости

используя уравнение состояния (*)

−волновое уравнение.

Малые возмущения покоящегося баротропного газа удовлетворяют волновому уравнению.

3. Движение твердого тела вокруг одной неподвижной точки. Скорости и ускорения точек тела

OL– произвольная ось.и- определяющие углы.

Для определения положения тела с 1-й неподвижной точкой, необходимо использовать 3 параметра.

Углы Эйлера

- угол прецессии

- угол нутации

- угол собственного значения

- ось прецессии

- ось нутации

- ось собственного значения

- закон движения тела вокруг одной неподвижной точки

Теорема Эйлера-Даламбера.Всякое перемещение твердого тела около неподвижной точки можно получить одним только поворотом тела вокруг определенной оси, проходящей через эту точку и называемойосью конечного вращения.

Движение тела около неподвижной точки в каждый данный момент времени осуществляется бесконечно малым поворотом вокруг оси вращения. Существует мгновенная ось вращения в данный момент времени. Такое движение сводится к изучению вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Геометрическое место мгновенных осей вращения в неподвижной системе отсчёта - коническая поверхность, называемая неподвижным аксоидом, а в подвижной системе отсчёта – подвижным аксоидом.

Подвижный и неподвижный аксоиды имеют общую вершину в неподвижной точке, и в каждый момент времени мгновенная ось вращения служит общей образующей для неподвижного подвижного аксоида.

Скорость точек тела. По аналогии с плоскопараллельным движением получаем, что распределение всех скоростейточек тела будет в данный момент времени таким же, как если бы мгновенная ось вращения была бы неподвижнойскоростьлюбой точки тела в данный момент времени можно определить с помощью формулы Эйлера:

Ускорение точек тела.

Причём, - осестремительное

- вращательное

Билет 4