3. Постановка задач теории упругости в компонентах перемещений и напряжений

Для постановки задачи необходимо знать граничные и начальные условия, объемные силы, действующие на тело.

При решении задач теории упругости возникают вопросы существования и единственности решения.

Для малых деформаций и перемещений изотропного твердого тела уравнения движения имеют вид

- ур-е движения в напряжениях

Используя з-н Гука для изотропного тела и уравнения совместности

Получаются диф-е ур-я Ламе , где

Для данных систем уравнений можно сформулировать 3 основные краевые задачи.

1. Заданы объемные силы . необходимо определить компоненты тензора напряжений и перемещений, если на поверхности тела задан вектор напряжений

2. Заданы объемные силы . необходимо определить компоненты тензора напряжений и перемещений, если на поверхности тела задана функция перемещений

3. Смешанная краевая задача. На части поверхности задан вектор напряжения, на другой части вектор перемещения. В случае динамической задачи необходимо задать начальное значение для вектора перемещений и его производной по времени и

Билет 18

1. Достаточные условия сходимости ряда Фурье

Опр. Скалярное произведениеф-циинаопр-ся:

Опр. Совокупность интегрируемых нафункцийназ-ся ортогональной насистемой функций, если, ортонормированной

Опр. Пусть сист. функцийортогональна наи−ЧП, тогда ФРназывается ортогональным рядом по сист., последовательность− посл-тью его коэффициентов, а− основным отрезком.

Опр. Рядом Фурье (РФ) ф-циипо сист. ф-ций, ортогональной на, называется отрогональный ряд, коэффициенты которого :,

Теорема. Длякоэффициенты РФ по ортогональной тригонометрической сист.выражаются:,

Опр. Говорят, что ф-ия удовлетворяет условию Дирихле, если существует разбиение a=x₀<x₁<…<x_n=b, такое, что  k = 0,1,..,n-1 функция f(x_k;;x_k+1) – ограниченна, монотонна и непрерывна.

Теорема (Дирихле).

Предположим, что f - 2 периодическая функция удовлетворяет условию Дирихле на [-;], тогда ее тригонометрический ряд Фурье сходится поточечно к сумме S_f(x).

Теорема (достаточное условие сх-ти РФ)

Если f - 2 периодическая дифференицируемая функция, первая производная которой удовлетворяет условию Дирихле, то ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на R.

2. Поверхности разрыва внутри идеальных сжимаемых сред. Адиабата Гюгонио

Рассмотрим разрыв внутри идеальной сжимаемой среде относительно системы координат, связанной с поверхностью разрыва либо на неподвижном скачке:

Рассмотрим распространение разрыва по частицам среды. Имеется поверхность разрыва в идеальной среде.

Возьмем систему отсчета К т.ч.

Применим соотношения разрывов к данному случаю. Тогда:

Для второй среды

В дальнейшем Величинойи будем оперировать.

Запишем соотношения для данной системы координат: . Из уравнения импульсов

Рассмотрим данную систему введя . Найдем

Из 1го получаем . Тогда

Введем уравнение адиабаты Гюгонио.

В качестве основы возьмем первые два уравнения на разрывах и запишем в обозначениях, когда введены удельные объемы:

Исключим скорости :

Из (2)

Подставим получ выражения в (3) :

- адиабата Гюгонио

На скачке уплотнения внутренняя энергия растет, разряжения – убывает.