Глава 119.

Краткая теоретическая справка

В данном разделе приведены определения и разъяснения некоторых математических терминов, необходимых для понимания данной части Руководства.

119.1. Термины и определения

Связная совокупность граней — множество граней, каждая из которых имеет общее ребро хотя бы еще с одной гранью этого множества, причем одно ребро одновременно принадлежит не более чем двум граням.

Связная совокупность кривых (цепочка кривых) — множество односегментных кривых, каждая из которых имеет общую вершину хотя бы еще с одной кривой этого множества, причем одна вершина одновременно принадлежит не более чем двум кривым.

119.2.Математическое представление кривых и поверхностей. Изопараметрические кривые

В общем случае кривая математически описана в файле модели как геометрическое место точек, координаты которых в пространстве определяются функциями от парамет! ра U:

x = x(U),

y = y(U),

z = z(U),

где параметр U ограничен предельными значениями Umin ≤ U ≤ Umax.

Если множество значений параметра U представить в виде отрезка прямой, то кривая бу! дет отображением этого отрезка в трехмерное пространство модели. Каждому значению параметра U соответствует определенная точка на кривой.

Поверхность описана в файле модели как геометрическое место точек, координаты ко! торых определяются функциями от двух параметров U и V:

x = x(U; V),

y = y(U; V),

z = z(U; V),

где параметры U и V ограничены предельными значениями Umin ≤ U ≤ Umax,

Vmin ≤ V ≤ Vmax.

Если множество значений параметров U и V представить в виде плоской прямоугольной области, то поверхность будет отображением этой области в трехмерное пространство модели.

Если значение одного из параметров U или V зафиксировать, а другой изменять, то по! лучится кривая, лежащая на поверхности. Эта кривая называется изопараметрической. Кривые, полученные изменением параметра U при зафиксированном параметре V, счи! таются изопараметрическими кривыми направления U, а кривые, полученные изменени! ем параметра V при зафиксированном параметре U — изопараметрическими кривыми

334

Глава 119. Краткая теоретическая справка

направления V. Кривые обоих направлений образуют изопараметрическую сеть, которая позволяет увидеть на экране теоретическую поверхность, соответствующую грани. Обычно показываются по пять кривых каждого направления, соответствующих значени! ям 0, 25, 50, 75, 100 параметров U или V (рис. 119.1). Например, изопараметрическая сеть отображается при построении точки способом На поверхности.

Границы теоретической поверхности не обязательно совпадают с контуром грани, но грань всегда находится в границах своей теоретической поверхности. Кроме того, теоре! тическая поверхность, в отличие от грани, не имеет отверстий.

Рис. 119.1. Пример изопараметрической сети

119.3. Кривые и поверхности NURBS. Порядок NURBS. Вес точек

Кривые и поверхности NURBS (Non!Uniform Rаtionаl B!Sрline, нерегулярный рациональ! ный В!сплайн) определяются следующими параметрами: набором контрольных точек, называемых полюсами, и порядком NURBS.

При построении кривой контрольные точки можно указывать произвольно, а набор то! чек для создания поверхности должен представлять собой сеть, т.е. точки должны быть расположены рядами с одинаковым количеством точек в каждом. Изопараметрические кривые будущей поверхности пройдут вдоль этих рядов.

Очевидно, что форма кривой или поверхности NURBS определяется расположением контрольных точек в пространстве. NURBS!поверхности, построенные по точкам, обла! дают весьма полезным для моделирования свойством локальной деформации: при из! менении положения одной контрольной точки меняется форма только части поверхнос! ти вблизи этой точки, а не вся поверхность.

Порядок NURBS в случае кривой определяет количество соседних контрольных точек, которые будут задействованы в вычислении участка сплайна вблизи каждой контроль! ной точки. При таком вычислении используется полином, степень которого на 1 меньше, чем порядок NURBS.

Количество контрольных точек может быть больше или равно порядку, но не меньше по! рядка. Порядок не может быть меньше 2. Частные случаи NURBS!кривых приведены на рисунке 119.2.

335

Часть XXIII. Пространственные кривые, точки, поверхности

Рис. 119.2. Частные случаи NURBS кривых:

а) линейная кривая (количество точек — 2, порядок NURBS — 2, степень полинома — 1), б) коническая кривая (количество точек — 3, порядок NURBS — 3, степень полинома — 2), в) кубическая кривая (количество точек — 4, порядок NURBS — 4, степень полинома — 3)

При построении поверхности необходимо указать два значения, определяющих порядок NURBS по каждому из ее направлений: U и V. Заданный порядок будут иметь изопара! метрические кривые соответствующих направлений.

Увеличение порядка NURBS до значений больше 6 на практике редко используется в свя! зи с тем, что это значительно усложнит (и, следовательно, замедлит) вычисления при операциях с кривыми и поверхностями.

Дополнительным параметром, влияющим на форму кривой или поверхности, является вес каждой контрольной точки. Геометрический смысл этого параметра следующий: чем больше вес точки, тем ближе к ней расположена кривая (поверхность), т.е. точки с боль! шим весом «притягивают» NURBS сильнее, чем точки с маленьким весом.

Например, на рисунке 119.3 показано, как меняется форма кривой при увеличении веса одной из точек. Положение I кривой соответствует случаю, когда все точки имеют еди! ничный вес, положение II — случаю, когда точка 4 имеет вес 2, а положение III — слу! чаю, когда она имеет вес 6.

Рис. 119.3. Влияние веса точки на форму кривой

Форму кривой определяют не абсолютные веса точек, а разница между ними, т.е. при из! менении весов всех точек в одно и то же число раз вид кривой не изменится.

336

Глава 119. Краткая теоретическая справка

119.4. Условия сопряжения кривых и поверхностей

Условие сопряжения определяет форму создаваемой кривой или поверхности вблизи места соединения ее с существующей кривой или поверхностью. Эта существующая кри! вая или поверхность по отношению к создаваемой является объектом сопряжения. Кри! вые сопрягаются друг с другом и с поверхностями в точке сопряжения, а поверхности со! прягаются вдоль кривой — границы сопряжения.

Результат сопряжения кривых и поверхностей при выполнении различных условий со! пряжения описан в табл. 119.1. Также в таблице показаны примеры соединения кривых с разными условиями сопряжения. Слева на рисунках находится кривая — объект со! пряжения, а справа — сопрягаемая кривая; точка сопряжения отмечена кружком.

Табл. 119.1. Условия сопряжения кривых и поверхностей

По позиции

Конечная точка кривой или граница поверхности принадлежит объекту сопряжения.

По касательной

Выполняется условие По позиции. Кроме этого, выполняется условие:

▼для кривой: в точке сопряжения кривая и объект сопряжения имеют общую касательную*,

▼для поверхности: в точках границы сопряжения изопараметрические кривые направления, противоположного границе, касательны к объекту сопряжения.

Перпендикулярно

Выполняется условие По позиции. Кроме этого, выполняется условие:

▼для кривой: в точке сопряжения касательные кривой и объекта сопряжения перпендикулярны,

▼для поверхности: в точках границы сопряжения изопараметрические кривые направления, противоположного границе, перпендикулярны объекту сопряжения.

Гладкое

Выполняется условие По касательной. Кроме этого, выполняется условие:

▼для кривой: в точке сопряжения кривизна кривой равна кривизне объекта сопряжения*.

337

Часть XXIII. Пространственные кривые, точки, поверхности

*Если объект сопряжения — поверхность, то для сопряжения дополнительно указывается кривая, лежащая на этой поверхности и проходящая через точку сопряжения.

В некоторых системах трехмерного моделирования сопряжение кривых или поверхнос! тей с условием По позиции называется «сопряжением с непрерывностью G0», По касательной — «сопряжением с непрерывностью G1», Гладкое — «сопряжением с непрерывностью G2».

338