p / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p / 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 1 p / 2 |
|||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= ò |
a |
|
- a |
|
sin |
|
ta costdt |
= a |
òcos |
|
tdt = a |
|
|
|
ò(1 + cos 2t)dt = |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
æ |
1 |
|
ö |
|
p / 2 |
|
|
pa |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
çt + |
|
sin 2t ÷ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. < |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2.6. ФОРМУЛА ІНТЕГРУВАННЯ ЧАСТИНАМИ ДЛЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
Теорема. Якщо функції u(x) і v(x) мають неперервні похідні на відрізку [a, b], то
b |
b |
|
|
òudv = uv |
ba |
- òvdu |
(2.18) |
a |
|
a |
|
w Обчислимо диференціал добутку: d(uv) = udv + vdu. Інтегруючи обидві частини рівності в межах від a до b, одержуємо
b |
|
|
b |
b |
|
|
b |
b |
|
|
||
òd (uv) = òudv + òvdu |
Þ |
(uv) |
ba = òudv + òvdu. |
|
||||||||
a |
|
|
a |
a |
|
|
a |
a |
|
|
||
З останньої рівності випливає формула (2.18). £ |
|
|
||||||||||
Приклад 2.2 |
ì u = x |
|
dv = sin xdx |
|
|
|||||||
|
р |
|
ü |
|
||||||||
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
= |
|
► òxsin xdx = í |
|
v òsin xdx |
|
|
|
ý |
|||||
|
0 |
|
|
îïdu |
= dx= = |
-cos x |
þï |
|
||||
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
= -x cos x |
|
0р + òcos xdx= |
- р cos р + 0 × cos 0 + sin x |
|
0р = р. |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
=-рcosр+0×cos0+sin x р0 =р. <
2.7.ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ГЕОМЕТРІЇ
2.7.1.Обчислення площ плоских фігур
Обчислення площ у декартових прямокутних координатах
Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція f(x) ³ 0. Площа криволінійної трапеції - фігури, обмеженої кривою y = f(x), віссю Ox і прямими x = a, x = b (рис. 2.7), знаходиться за формулою
b |
|
S = ò f (x)dx. |
(2.19) |
a |
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
33
Якщо на відрізку [a, b] функція обмежена віссю Ox, кривою y = f(x) і за формулою
f(x) £ 0 (рис. 2.8), то площа фігури, прямими x = a, x = b обчислюється
|
|
|
b |
|
|
|
S = -ò f (x)dx. |
(2.20) |
|
|
|
|
a |
|
y |
y = f |
(x) |
y |
|
|
|
|
||
A |
|
B |
a |
b |
|
|
|
0 |
x |
|
+ |
|
A |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 a |
|
b |
x |
y = f (x) |
|
Рис. 2.7 |
|
Рис. 2.8 |
|
Якщо на [a, b] функція f(x) змінює знак скінченне число разів (рис. 2.9), то площа, обмежена кривою y = f(x), віссю Оx і прямими x = a, x = b, знаходиться за формулою
b |
|
|
|
|
|
S = ò |
|
f (x) |
|
dx. |
(2.21) |
|
|
||||
a |
|
|
|
|
|
Наприклад, обчислимо площу фігури, зображеної на рис. 2.9: |
|||||
y |
|
y |
|
||
y = f2 (x)
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
a |
|
c1 |
|
- |
|
c2 b x |
0 |
a |
y = f1 |
(x) |
b x |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 2.9 |
|
|
Рис. 2.10 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
c1 |
c2 |
|
b |
|
|
||||
|
|
|
|
|
S = ò |
|
f (x) |
dx = ò f (x)dx - ò f (x)dx + ò f (x)dx. |
(2.22) |
||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
c1 |
|
c2 |
|
|
||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
34
Якщо фігура обмежена двома неперервними кривимиy = f1(x),
y= f2(x) і прямими x = a, x = b (рис. 2.10), причому f2(x) ³ f1(x) для всіх x Î [a, b], то площа визначається за формулою
|
b |
|
S = ò[ f2 (x) - f1(x)]dx. |
(2.23) |
|
|
a |
|
Приклад 2.3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y =4x - x2 |
||
і y = 2x -8 (рис. 2.11). |
|
|
|
y |
|
|
y = 4x - x2 |
|
|
4 |
|
-2 |
2 4 x |
|
|
y = 2x -8 |
|
12
Рис. 2.11
► Знайдемо координати точок перетину параболи і прямої:
ì |
|
= |
4x |
- |
x |
2 |
, |
ì |
- |
= |
- |
x |
2 |
, |
|
ì x -2,= |
ì |
x = 4, |
|
|||
ïy |
|
|
|
ï2x |
|
8 4x |
|
|
Þ í |
1 |
|
2 |
Þ |
|||||||||
í |
y = 2x - 8. |
Þ í |
y 2x - 8. |
|
|
|
y1 = -12, |
í |
|
|||||||||||||
ï |
= ï |
|
|
|
î |
îy2 = 0. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Þ M1 (-2, -12), M 2 (4, 0). |
|
|
|
|||||||||||
Застосовуючи формулу (2.23), одержуємо: |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
S = ò[4x - x2 - (2x - 8)]dx = (x2 - |
|
x3 + 8x) |
4-2 = 36 (од.2). < |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обчислення площі криволінійної трапеції при параметричному заданні рівняння кривої
Обчислимо площу криволінійної трапеції, обмеженої кривою, заданої рівняннями в параметричній формі
|
ìx = x(t), |
a £ t £ b, |
(2.24) |
|
í |
||
|
îy = y(t), |
|
|
де |
функціяy(t) ³ 0 неперервна, а x(t) - неперервно диференційована. |
||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
35
Нехай рівняння (2.24) визначають на відрізку [a, b] функцію y = f(x) так, що різним значенням параметра tÎ[a, b] відповідають різні точки кривої, причому x(a) = a, x(b) = b.
Заміняючи змінну в інтегралі(2.1): x = x(t), dx = x¢(t)dt, y = = f [x(t)] = y(t), одержуємо формулу для обчислення площі криволінійної трапеції, обмеженої кривою, задану параметрично
b |
|
|
¢ |
(t)dt. |
(2.25) |
S = ò y(t)x |
a
Зауваження. Нижня межа інтегрування a у формулі (2.25) повинна відповідати лівій точці a, а верхня - правій точці b на осі Оx (рис. 2.7).
Приклад 2.4. Обчислити площу еліпса
x = a cost, y = bsin t (0 £ t £ 2р).
► Обчислимо розташовану в першій чверті площу1/4 частини еліпса і результат помножимо на4. Змінна x змінюється від 0 до a, отже, параметр t змінюється від p/2 до 0.
За формулою (2.25) маємо
0 |
0 |
|
|
|
р/2 |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
2ab ò (1-cos2t)dt = |
S =4 ò bsint(-asint)dt =-4ab ò sin=tdt |
|||||||
р/ 2 |
|
|
р/2 |
|
0 |
||
|
= 2ab(t - |
1 |
sin 2t) |
|
p0 |
/ 2 = рab. < |
|
|
|
||||||
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
||
Обчислення площ плоских фігур у полярних координатах
Площа криволінійного сектора, обмеженого неперервною кривою r = r(j) (a £ j £ b) і двома полярними радіусами, що відповідають значенням полярного кута j = a і j = b (рис. 2.12), обчислюється за формулою
|
1 |
b |
|
|
S = |
ò r 2 (j)dj. |
(2.26) |
||
|
||||
|
2 a |
|
||
w Для доведення формули (2.26) розіб’ємо сектор на n частин променями a = j0, j1, …, jn = b (рис. 2.12). Замінимо площу i-го сектора площею кругового сектора радіуса ri = r(ji ), де ji -1 £ ji £ ji .
Тоді DSi = ri2Dji / 2.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
36