9.

ò tgudu = -ln

cos u

+ C

10.

òctgudu = ln

sin u

+ C

11.

ò

du

du

= -ctgu + C

12.

ò

du

= tgu +C

sin

2

u

cos

2

u

ì

u

+ C

ì

1

arctg

x

+ C

du

ï arcsin

dx

ï

a

a

a

13.

= í

14.

= í

ò a2 - u 2

ò a 2 + x

ï- arccos

u

+ C

2

ï-

1

arcctg

x

+ C

î

a

î

a

a

(a ¹ 0,

u

<

a

)

(a ¹ 0)

15. ò

du

= ln

u +

+ C

du

=

1

ln

a + u

+ C

u 2 ± a2

16.

ò

2

2

2

2

u

± a

a

- u

2a

a - u

(a ¹ 0)

(a ¹ 0)

гральній

функції:

¢

¢

Перевіримо,

наприклад,

[F (x) + C] = F (x) = f (x).

формулу 15:

ö¢

1 +

u

(u + u 2

± a2 )¢

æ

u

2 ± a2

1

2

2

çln

u +

u

± a

+ C ÷

=

=

=

.

è

ø

u +

u

2

± a

2

u +

u

2

± a

2

u

2

± a

2

5 -

3

x

2

+ x

7

- 2x + x4

x

dx

1

► ò

dx = 5ò

- òx-

dx + òx6dx - 2òdx +

3

x

3x2 / 3

x7

x

4x

+ò4x dx= 5ln

x

-

+

- 2x +

+ C. <

Приклад 1.2

dx

2

7

ln 4

1

dx

1

x

► ò

=

ò

=

arcsin

+ C. <

27 -

3x

2

3

3

2

2

- x

3

3

Приклад 1.3

dx

1

dx

1

► ò

=

ò

=

ln

x +

x

2

+

5

+ C. <

2

2

4

4x

2

+ 5

x

2

+ 5 4

ìx = j(t)

ü

¢

(1.3)

ò f (x)dx = í

¢

ý

= ò f [j(t)]×j (t)dt.

îdx = j (t)dt þ

dx

ìx = atgt

ü

dt

► ò

ï

ï

= aò

= í

dt

ý

=

3

3

(x

2

+ a

2

)

ïdx = a

ï

cos

2

t[a

2

2

t +1)]

2

2

cos

2

î

t þ

(tg

=

1

òcos tdt =

1

sin t + C =

1

tgt

+ C =

x

+ C. <

a

2

a

2

a

2

2

2

t

a

x

2

+ a

2

1 + tg

Приклад 1.5

ìx = a cos 2t

ü

a + x

a(1 + cos 2t)

►

ò

dx = í

ý = -2a

ò

sin 2tdt =

a - x

îdx = -2a sin 2tdtþ

a(1 - cos 2t)

= -2aò

2 cos2 t

2sin t cos tdt

= -4aòcos

2

tdt = -

4a

1

ò(1 + cos 2t)dt =

2sin

2

t

2

1

= - 2a(t +

sin 2t) + C = -a(2t +

) + C =

1 - cos2 2t

2

ö

æ

x

æ x

ö

2

= - açarccos

+

1 - ç

÷

÷ + C. <

a

ç

è a

ø

÷

è

ø

¢

ì

t = j(x)

ü

= ò f (t )dt.

(1.4)

ò f [j(x )]×j

(x )dx =

í

¢

ý

îdt = j

(x )dxþ

З формули (1.4)

випливає,

що

якщо

під

інтегралом одночасно

присутні функція j(x) і

диференціал

¢

то

цієї функціїdj = j (x)dx,

використовується підстановка t = j(x).

Наведемо приклади застосування формули (1.4).

Приклад 1.6

ìt = 2x3 -1ü

99

1

► ò(2x3 -

1)

x2 dx = í

ý

=

òt99 dt =

=

2

6

îdt

6x

dxþ

1 t100

1

3

100

=

+ C =

(2x

-

1)

+ C. <

6 100

600

Приклад 1.7

t = 3 + 4 sin 2 x

ì

ü

► ò 5 3 + 4 sin 2 x sin 2 xdx =

=

í

4 sin 2 xdx

ý

îdt = 4 × 2 sin x cos xdx =

þ

1

1

5 × t

6

5

5

6

=

òt

dt =

+ C =

(3 + 4 sin 2

x )

+ C .

5

<

5

4

4 × 6

24

Приклад 1.8

ì t

= arctg4x ü

arctg9

4xdx

1

t10

ï

ï

9

► ò

=

í = =

4dx

ý

òt

dt

+ C =

1 +16x

2

4

40

ïdt =

ï

2

î

1 +16x

þ

Звідси отримаємо формулу інтегрування частинами:

òudv = uv - òvdu.

(1.5)

1. Інтеграли виду

¢

ìu = P (x); du = P

(x)× dxü

ò Pn (x){abx; cos bx; sin bx}dx = í

n

n

ý.

î dv = {...}dx;

v = ò{...}dx þ

Приклад 1.9

du = (4x -3)dx

► ò(2x2 -3x +1)cos4xdx =

ìu

= 2x2 -3x +1;

ü

ï

1

ï

=

í

v = òcos4xdx =

ý

ï dv = cos4xdx;

sin 4xï

4

î

þ

1

(2x2

-3x +1)sin4x -

1

ì u =

4x -3;

du =

4dx ü

=

ò(4x

-

3)sin4xdx=

ï

1

ï

=

í

ý

4

4

ïdv = sin4xdx;

v = -

cos4xï

4

1

(2x2 - 3x +1)sin 4x -

1

1

î

1