1.НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
Удиференціальному численні розв’язувалась задача знаходження похідної або диференціала даної функції. Однією із задач інтегрального числення є обернена задача знаходження функції, для якої відома похідна або диференціал.
1.1.ПЕРВІСНА ФУНКЦІЇ. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
І ЙОГО ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ
Функція F (x) називається первісною для функції f (x) |
на інтер- |
валі (a, b), якщо для всіх значень x Î (a, b) виконується рівність |
|
¢ |
(1.1) |
F (x)= f (x) або dF = f(x)dx. |
|
Приклад. Для всіх x Î (- ¥, + ¥) функції F1(x) = x2, F2(x) = x2 + C (C = = const) є первісними для функції f(x) = 2x, оскільки F1¢(x) = F2¢(x) = f(x).
Теорема 1. Якщо F1(x) і F2(x) – первісні для функціїf(x)
на інтервалі (а, b), то F1(x) – F2(x) = С (C = const)
wЗа умовою теореми F1¢(x) = f(x), F2¢(x) = f(x) Þ F1¢(x) – F2¢(x) = 0 Þ
Þ[F1(x) – F2(x)]¢ = 0 Þ F1(x) – F2(x) = С. £
Наслідок. Якщо F (x) - одна з первісних для f (x) на інтервалі (a, b), то будь-яка інша первісна для f (x) на тому ж інтервалі має вигляд Ф(x)= F (x)+ C , де C - довільна стала.
Якщо F (x) - первісна для функції f (x) на інтервалі (a, b), то множина функцій виду F (x)+ C (C = const) називається невизначеним інтегралом від функції f (x) на (a, b) і позначається символом
ò f (x)dx , де ò – знак невизначеного інтеграла, f (x)dx – підінтегра-
¢ |
то |
||
льний вираз, f(x) – підінтегральна функція. Якщо F (x) = f (x), |
|||
|
ò f (x)dx = F (x)+ C. |
(1.2) |
|
Операцію знаходження первісної або невизначеного інтеграла від |
|||
функції f (x) називають інтегруванням функції f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. Для будь-якої неперервної на інтервалі(a, b) |
||
|
функції f (x) існує на цьому інтервалі первісна, а |
отже, |
|
|
і невизначений інтеграл |
|
|
|
|
|
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ” |
|
|
|
7
Зауваження. Невизначений інтеграл від елементарної функції не завжди є елементарною функцією. Наведемо приклади таких інтегралів:
1. |
òe-x 2 dx - інтеграл Пуассона. |
|||||||
2. |
òsin( x2 )dx, |
|
òcos(x2 )dx - інтеграли Френеля. |
|||||
3. |
ò |
dx |
|
- інтегральний логарифм. |
||||
|
|
|||||||
|
|
ln x |
|
|
|
|||
4. |
ò |
sin x |
dx, |
ò |
cos x |
dx - інтегральні синус і косинус. |
||
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
x |
||||
|
ò |
ex |
|
|
|
|||
5. |
|
dx - інтегральна експонента. |
||||||
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|||
Основні властивості невизначеного інтеграла
1. òdF (x)= F (x)+ C.
wòdF (x) = òF ¢(x)dx = F (x) + C. £
2.d ò f (x)dx = f (x)dx.
wò f (x)dx = F (x) + C Þ d ò f (x)dx = d (F (x) + C) = dF (x) =
=F¢(x)dx = f (x)dx. £
3.(ò f (x )dx)¢ = f (x ).
4. |
ò a f ( x ) dx |
= a ò f ( x ) dx |
(a = const). |
|
|||||||
5. |
ò[f (x)± j(x)]dx = ò f (x)dx ± òj(x)dx. |
|
|||||||||
6. |
Якщо ò f (x)dx = F (x)+ C, то ò |
f (ax + b)dx = |
1 |
F (ax + b)+ C (a ¹ 0). |
|||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ù¢ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
é |
1 |
|
|
1 |
¢ |
|
|
|
|
|
w |
ê |
|
F (ax + b) + Cú |
= |
|
|
|
£ |
||
|
|
a |
F (ax + b)a = f (ax + b). |
||||||||
|
|
ëa |
|
û |
|
|
|
|
|
||
Таблиця невизначених інтегралів
Нехай u - незалежна змінна або неперервно диференційована функція, тоді справедливі формули (C = const):
1. |
ò0dx = C |
|
|
|
|
2. |
òdu = u + C |
|||||||||
3. |
òua du = |
ua +1 |
|
+ C |
(a ¹ -1) |
4. |
ò |
du |
= ln |
|
u |
|
+ C |
|||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
a +1 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|||||
5. |
òau du = |
au |
+ C (a > 0, a ¹ 1) |
6. |
òeu du = eu + C |
|||||||||||
ln a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
òsin udu = -cosu + C |
8. |
òcosudu = sin u + C |
|||||||||||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
8