3.2.6. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Лінійним неоднорідним рівнянням п-го порядкуназивається рів-

придатне для будь-якого скінченного числа функцій.

Функції y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) називають лінійно залежними в інтервалі (a, b), якщо існують постійні числаm1 , m2 , ..., mn , не всі рівні нулю, такі, що

n

åmi yi (x) º 0

i =1

для будь-яких x Î (a, b). Якщо ж вказана тотожність виконується тільки у випадку, коли всі mi = 0 , то функції yi (x) називаються лінійно незалежними в інтервалі (a, b).

Сукупність п лінійно незалежних розв’язків y1(x), y2 (x), ..., yn (x)

рівняння (3.54) називається фундаментальною системою розв’язків.

За її допомогою будується загальний розв’язок однорідного рівнян-

ня (3.54).

Теорема 1. Якщо y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) – будь-яка фундаментальна система розв’язків рівняння (3.54), то функція

95

Теорема 2 (про структуру загального розв’язку неоднорід-

ного рівняння). Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (3.53) має вигляд

y = yодн + y,

де yодн – загальний розв’язок відповідного однорідного рів-

няння (3.54);

y– один із частинних розв’язків рівняння(3.53)

Узагальному випадку не існує методу знаходження фундаментальної системи розв’язків і загального розв’язку рівняння (3.54). Тільки

у випадку, коли в рівнянні (3.54) всі коефіцієнти pi (x) є сталими, існує метод знаходження фундаментальної системи розв’язків і загального розв’язку рівняння(3.54). Цей метод, оснований на використанні характеристичного рівняння

k n + p1k n -1 + p2 k n - 2 + ...... + pn -1k + pn = 0,

аналогічний методу, викладеному в попередньому параграфі для диференціального рівняння другого порядку.

Приклад 3.26. Знайти загальний розв’язок рівняння y¢¢¢ - y¢¢ + y¢ - y = x2 + x.

► Знаходимо загальний розв’язок однорідного рівняння

y¢¢¢ - y¢¢ + y¢ - y = 0.

Характеристичне рівняння k 3 - k 2 + k -1 = 0 можна переписати так:

(k -1)(k 2 +1) = 0,

звідки знаходимо дійсний коріньk = 1 (що відповідає рівнянню k -1 = 0 ) і числа a = 0, і b = 1 (що відповідають рівнянню k 2 +1 = 0 , яке не має дійсних коренів).

Тоді

yодн = C1ex + C2 cos x + C3 sin x.

Права частина заданого рівняння є многочленом другого степеня = e0x = 1. Оскільки число a = 0 не є коренем характеристичного

рівняння, то частинний розв’язок слід шукати у вигляді многочлена другого степеня:

y = Ax2 + Bx + C.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

96

Визначимо похідні y', y" і y'" та підставимо в ліву частину заданого рівняння:

y' = 2Ax + B, y'' = 2A, y '" = 0,

0 - 2 A + 2 Ax + B - Ax2 - Bx - C = x2 + x, - Ax2 + (2A - B)x + (-2A + B - C) = x2 + x.

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, отримаємо:

Отже, частинний розв’язок

y = -x2 - 3x -1,

а загальний розв’язок

y = C1ex + C2 cos x + C3 sin x - x2 - 3x -1. <

Питання для самоперевірки

1.Яке рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку?

2.Сформулюйте теорему про існування і єдиність розв’язку диференціального рівняння другого порядку.

3.Які диференціальні рівняння другого порядку допускають зниження порядку? Викладіть спосіб розв’язання таких рівнянь.

4.Яке рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням другого порядку?

5.Запишіть структуру загального розв’язку лінійного однорідного (неоднорідного) рівняння другого порядку.

6.Запишіть вигляд загального розв’язку однорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами, якщо корені його характеристичного рівняння:

а) дійсні і різні; б) кратні; в) комплексні.

7.Сформулюйте алгоритм розв’язання лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

8.Який вигляд має частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами, якщо його права частина є:

а) f (x) = eax Pn (x);

б) f (x) = Pn (x);

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

97