Державний вищий навчальний заклад “Українська академія банківської справи Національного банку України”
Кафедра вищої математики та інформатики
В.М. Долгіх, Т.І. Малютіна, К.А. Дахер
ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ
Частина 3
Інтегральне числення. Диференціальні рівняння. Ряди
Навчальний посібник У 4 частинах
Для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів
Суми ДВНЗ “УАБС НБУ”
2009
УДК 517.3:517.9](075.8) Д64
Рекомендовано до видання вченою радою Державного вищого навчального закладу “Українська академія банківської справи Національного банку України”, протокол № 10 від 24.06.2008.
Рецензенти:
кандидат технічних наук, доцент
В.В. Яценко;
кандидат технічних наук, доцент
С.В. Кунцев
Відповідальний за випуск
кандидат технічних наук, доцент
В.В. Яценко
Долгіх, В. М.
Д64 Вища математика для економістів. Ч. 3. Інтегральне числення. Диференціальні рівняння. Ряди : навчальний посібник : у 4 ч. / В. М. Долгіх, Т. І. Малютіна, К. А. Дахер ; Державний вищий навчальний заклад “Українська академія банківської справи Національного банку України”. - Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2009. - 135 с.
До третьої частини посібника ввійшли теоретичні відомості з інтегрального числення, диференціальних рівнянь і рядів, приклади розв’язування основних типів задач, питання для самоперевірки.
Призначений для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
УДК 517.3:517.9](075.8)
©Долгіх В.М., Малютіна Т.І., Дахер К.А., 2009
©ДВНЗ “Українська академія банківської справи Національного банку України”, 2009
ЗМІСТ |
|
ВСТУП ...................................................................................................... |
6 |
1. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ............................................................ |
7 |
1.1. Первісна функції. невизначений інтеграл |
|
і його основні властивості..................................................................... |
7 |
1.2. Основні методи інтегрування................................................................ |
9 |
1.2.1. Безпосереднє інтегрування.......................................................... |
9 |
1.2.2. Метод заміни змінної (метод підстановки) .............................. |
10 |
1.2.3. Інтегрування частинами ............................................................ |
11 |
1.3. Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний тричлен ....... |
14 |
1.4. Інтегрування раціональних функцій................................................... |
15 |
1.5. Інтегрування ірраціональних функцій................................................ |
20 |
1.6. Інтегрування деяких тригонометричних виразів ............................... |
22 |
2. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ............................................................... |
26 |
2.1. Поняття визначеного інтеграла, його геометричний зміст................ |
26 |
2.2. Властивості визначеного інтеграла..................................................... |
27 |
2.3. Диференціювання визначеного інтеграла |
|
зі змінною верхньою межею ............................................................... |
30 |
2.4. Формула Ньютона-Лейбніца............................................................... |
32 |
2.5. Заміна змінної у визначеному інтегралі ............................................. |
32 |
2.6. Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла .......... |
33 |
2.7. Застосування визначеного інтеграла |
|
для розв’язування задач геометрії ...................................................... |
33 |
2.7.1. Обчислення площ плоских фігур.............................................. |
33 |
2.7.2. Обчислення довжини дуги кривої ............................................ |
37 |
2.7.3. Обчислення об’ємів тіл ............................................................. |
42 |
2.8. Невласні інтеграли............................................................................... |
45 |
2.8.1. Інтеграли з нескінченними межами інтегрування ................... |
45 |
2.8.2. Інтеграли від необмежених функцій......................................... |
49 |
2.9. Приклади застосування визначеного інтеграла в економіці ............. |
51 |
2.10. Подвійні інтеграли............................................................................... |
54 |
3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ І РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ ............................... |
62 |
3.1. Диференціальні рівняння першого порядку....................................... |
62 |
3.1.1. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь ................. |
62 |
3.1.2. Звичайні диференціальні рівняння. |
|
Основні означення і поняття..................................................... |
63 |
3.1.3. Диференціальні рівняння першого порядку. |
|
Теорема Коші існування та єдиності розв’язку |
|
диференціального рівняння ...................................................... |
64 |
3.1.4. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними ...... |
66 |
3.1.5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку............ |
67 |
3.1.6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку ................ |
70 |
3.1.7. Рівняння Бернуллі...................................................................... |
72 |
3.2. Диференціальні рівняння вищих порядків ......................................... |
74 |
3.2.1. Диференціальне рівняння другого порядку, |
|
основні поняття ......................................................................... |
74 |
3.2.2. Інтегрування найпростіших типів |
|
диференціальних рівнянь другого порядку, |
|
що допускають зниження порядку ........................................... |
75 |
3.2.3. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.................. |
79 |
3.2.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння |
|
другого порядку зі сталими коефіцієнтами.............................. |
81 |
3.2.5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння |
|
другого порядку зі сталими коефіцієнтами.............................. |
84 |
3.2.6. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків................... |
95 |
3.3. Системи звичайних диференціальних рівнянь................................... |
98 |
3.3.1. Основні поняття......................................................................... |
98 |
3.3.2. Розв’язання нормальної системи |
|
диференціальних рівнянь.......................................................... |
99 |
3.3.3. Системи лінійних диференціальних рівнянь |
|
зі сталими коефіцієнтами .......................................................... |
99 |
3.4. Різницеві рівняння .............................................................................. |
103 |
3.4.1. Основні поняття........................................................................ |
103 |
3.4.2. Розв’язання різницевих рівнянь............................................... |
105 |
4. РЯДИ................................................................................................. |
109 |
4.1. Числові ряди ....................................................................................... |
109 |
4.1.1. Збіжність і сума ряду................................................................ |
109 |
4.1.2. Найпростіші властивості збіжних рядів .................................. |
110 |
4.1.3. Необхідна ознака збіжності ряду ............................................ |
111 |
4.1.4. Залишок ряду ........................................................................... |
111 |
4.1.5. Ряди з невід’ємними членами, критерій збіжності ................ |
112 |
4.2. Ознаки збіжності числових рядів із невід’ємними членами ........... |
112 |
4.2.1. Інтегральна ознака Коші ......................................................... |
112 |
4.2.2. Ознаки порівняння................................................................... |
114 |
4.2.3. Ознака Д’Аламбера ................................................................. |
116 |
4.2.4. Радикальна ознака Коші .......................................................... |
117 |
4.3. Знакопочережні ряди ......................................................................... |
118 |
4.3.1. Абсолютна та умовна збіжність.............................................. |
118 |
4.3.2. Ознака Лейбніца ...................................................................... |
119 |
4.3.3. Властивості абсолютно збіжних рядів.................................... |
120 |
4.4. Функціональні ряди ........................................................................... |
121 |
4.4.1. Область збіжності .................................................................... |
121 |
4.4.2. Рівномірна збіжність функціонального ряду ......................... |
122 |
4.4.3. Ознака Вейєрштрасса .............................................................. |
123 |
4.4.4. Властивості рівномірно збіжних рядів ................................... |
124 |
4.5. Степеневі ряди ................................................................................... |
126 |
4.5.1. Означення степеневих рядів. Перша теорема Абеля ............. |
126 |
4.5.2. Радіус збіжності ряду .............................................................. |
127 |
4.5.3. Формули для визначення радіуса збіжності |
|
степеневого ряду ..................................................................... |
128 |
4.5.4. Основні властивості степеневих рядів. |
|
Почленне інтегрування та диференціювання |
|
степеневих рядів ...................................................................... |
129 |
4.5.5. Розвинення функції в степеневий ряд. |
|
Ряди Тейлора та Маклорена.................................................... |
130 |
4.5.6. Застосування степеневих рядів ............................................... |
132 |
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ ...................................................................... |
135 |
ВСТУП
Посібник у 4-х частинах написано відповідно до програми з вищої математики для економічних спеціальностей вищих навчальних закладів. Автори під час складання посібника мали на меті забезпечити ґрунтовне засвоєння теоретичного курсу з вищої математики, сприяти формуванню навичок у застосуванні методів вищої математики з підсиленням її прикладної економічної спрямованості.
Частина третя посібника складається з чотирьох розділів:
1.Невизначений інтеграл.
2.Визначений інтеграл.
3.Диференціальні і різницеві рівняння.
4.Ряди.
Упершому розділі наведені елементи інтегрального числення, дано поняття первісної, невизначеного інтеграла, розглянуті основні методи інтегрування.
Другий розділ присвячений визначеному інтегралу та його застосуванню для розв’язання задач геометрії та економіки. Наведені означення та основні властивості подвійного інтеграла та методи його обчислення.
Утретьому розділі розглядаються основні типи диференціальних рівнянь першого та вищих порядків. Дані поняття різницевих рівнянь, наведені приклади використання диференціальних рівнянь в економіці.
Четвертий розділ присвячений числовим та функціональним рядам. Наведені основні ознаки збіжності рядів та приклади їх застосування до наближених обчислень.
Усі розділи мають однакову структуру. Насамперед, викладено основний теоретичний матеріал (означення, твердження, теореми тощо), пропонуються приклади розв’язування типових задач теоретичного й економічного характеру. Наприкінці теми наведені питання для
самоперевірки засвоєння матеріалу.
Знаками ► і < позначаються початок і кінець розв’язання прикладу,
азнаками w і £ - початок і кінець доведення теореми або твердження. Поєднання в посібнику належної повноти, обґрунтованості, логіч-
ної довершеності й доступності подання матеріалу дає можливість рекомендувати це видання для студентів усіх економічних спеціальностей вищих навчальних закладів як денної, так і заочної форм навчання.
Розділи 1, 2 написані доцентом В.М. Долгіх, розділ 3 - доцентом Т.І. Малютіною, розділ 4 - ст. викладачем К.А. Дахер.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
6