Загальним розв’язком цього неоднорідного рівняння з правою частиною f1 (x) є
y = C1e2 x + C2 e5 x - 2e3x .
Частинним розв’язком рівняння
y" - 7 y' +10 y =10x + 3
з правою частиною f 2 (x) є функція y2 = x +1.
Отже, згідно з теоремою 3, загальний розв’язок даного рівняння такий:
y = C1e2 x + C2e5 x - 2e3x + x +1. <
Метод невизначених коефіцієнтів використовується тільки у тих випадках, коли права частина лінійного неоднорідного диференціального рівняння, тобто функція f (x) , є або многочленом, або показниковою функцією, або ж синусом чи косинусом, або добутком цих функцій. У тих випадках, коли права частина f (x) відмінна від названих вище функцій, застосовують метод варіації довільних сталих.
Метод варіації довільних сталих
Метод варіації довільних сталих дає змогу розв’язувати неоднорідні диференціальні рівняння з довільною правою частиною f (x).
Суть методу така. Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння 2-го порядку з сталими коефіцієнтами(3.40). Нехай загальним розв’язком відповідного однорідного рівняння (3.41) буде функція
yодн = С1 y1 (x) + С2 y2 (x), |
(3.49) |
де y1 (x) та y2 (x) – два лінійно незалежні частинні розв’язки одно-
|
|
рідного |
рівняння (3.41), а C1 та C2 – довільні |
||
|
|
сталі. |
|
|
|
Замінимо |
у загальному |
розв’язку(3.49) сталі C1 та C2 |
деякими |
||
функціями C1 (x) і C2 (x) так, щоб |
|
||||
|
|
|
= C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x) |
(3.50) |
|
|
|
y |
|||
стало розв’язком неоднорідного рівняння (3.40). |
|
||||
Знайдемо |
умови на функціїC1 (x) та C2 (x), за яких (3.50) стає |
||||
розв’язком неоднорідного рівняння (3.40). Якщо y є розв’язком неоднорідного рівняння (3.40), то при підстановці в ліву частину цього рівняння y, y', y" отримаємо тотожність.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
92
Диференціюючи (3.50), дістанемо:
y' = C1' (x) y1 (x) + C1 (x) y'1 (x) + C2' (x) y2 (x) + C2 (x) y2'(x) Þ Þ y' = [C1'(x) y1 (x) + C2' (x) y2 (x)]+ C1 (x) y1'(x) + C2 (x) y2'(x).
Виберемо функції C1 (x) та C2 (x) так, щоб сума |
у квадратних |
дужках дорівнювала нулю, тобто, щоб виконувалась рівність |
|
C1' (x) y1 (x) + C2' (x) y2 (x) = 0. |
(3.51) |
Тоді |
|
y' = C1 (x) y1'(x) + C2'(x) y2'(x).
Диференціюючи ще раз, знаходимо y " :
y" = C'1 (x) y'1 (x) + C1 (x) y"1 (x) + C'2 (x) y'2 (x) + C2 (x) y"2 (x).
Підставивши y , |
y' і y" |
в ліву частину неоднорідного рівняння |
|
(3.40), отримаємо: |
|
|
|
C'1 (x) y'1 (x) + C1 (x) y"1 (x) + C'2 (x) y'2 (x) + |
|
||
|
¢¢ |
|
|
+ C2 (x) y2 (x) + pC1 (x) y'1 (x) + pC2 (x) y'2 (x) + |
|
||
+ qС1 (x) y1 (x) + qC2 (x) y2 (x) = f (x) Þ |
|
||
Þ C'1 (x)[y"1 (x) + py'1 (x) + qy1 (x)]+ |
|
||
+ C2¢ (x)[y"2 (x) + py'2 (x) + qy2 (x)]+ |
|
||
+ C'1 (x) y'1 (x) + C'2 (x) y'2 (x) = f (x). |
|
||
Оскільки y1 (x) |
та y2 (x) |
є розв’язками однорідного |
рівняння |
(3.41), то вирази у квадратних дужках дорівнюють нулю. |
|
||
Тоді |
|
|
|
C'1 (x) y'1 (x) + C'2 (x) y'2 (x) = f (x). |
(3.52) |
||
Отже, для знаходження невідомих функцій C1 (x) та C2 (x) |
треба |
||
розв’язати систему рівнянь (3.51) і (3.52). |
|
||
Таким чином, метод варіації довільних сталих знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння складається з двох етапів.
На першому етапі знаходять невідомі функціїC'1 (x) та C'2 (x) із системи рівнянь (3.51) та (3.52):
ìíC'1 (x) y1 (x) + C'2 (x) y2 (x) = 0, îC'1 (x) y'1 (x) + C'2 (x) y'2 (x) = f (x).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
93
На другому етапі за знайденими функціямиC'1 (x) і C'2 (x) за допомогою інтегрування знаходять C1 (x) і C2 (x) та підставляють у вираз для частинного розв’язку:
y = C1 (x) y1 (x) + C2 (x) y2 (x).
Приклад 3.25. Знайти загальний розв’язок рівняння y" + y = 1 . sin x
► Характеристичне рівняння має вигляд k 2 + 1 = 0.
Тоді a = 0, b =1. Тому частинними розв’язками однорідного рівняння y" + y = 0 є функції y1 = cos x, y2 = sin x, а загальним розв’язком
однорідного рівняння є функція yодн = С1 cos x + C2 sin x.
Таким чином, частинний розв’язок заданого рівняння має вигляд
y = C1 (x) cos x + C2 (x) sin x,
де функції С1(х) та С2(х) знаходяться із системи рівнянь
ìC' |
(x) cos x + C' |
|
(x) sin x = 0, |
||||||
ï |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
í- C' |
(x) sin x + C' |
|
(x) cos x = |
1 |
. |
||||
2 |
|
||||||||
ï |
|
1 |
|
|
|
|
sin x |
||
î |
|
|
|
|
|
|
|
||
Помноживши перше рівняння цієї системи наsin x , а друге – на
cos x та додаючи їх, отримаємо: |
|
|
|
|
||
C'2 (x) sin 2 x + C'2 (x) cos2 x = |
cos x |
, |
Þ C'2 |
(x) = |
cos x |
. |
|
|
|||||
|
sin x |
|
|
sin x |
||
Інтегруючи, знаходимо |
|
|
|
|
||
C2 (x) = ln sin x
(тут не пишемо ln sin x + C, оскільки знаходимо не загальний, а частинний розв’язок. Тому можна вважати, що C = 0 ).
Підставляючи C'2 (x) = cos x у перше з рівнянь даної системи, діsin x
станемо: C'1 (x) cos x + cos x = 0, звідки C'1 (x) = -1 Þ C1 (x) = -x.
Таким чином, частинний розв’язок заданого диференціального рівняння
y = -x cos x + sin x ln | sin x |,
а загальний розв’язок:
y = (C1 - x) cos x + (C2 + ln | sin x |) sin x. <
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
94