► Унаслідок симетрії кривої досить обчислити довжину верхньої половини кардіоїди і подвоїти результат.
За формулою (2.31) маємо
p |
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
j |
|
|
|||
l = 2ò |
a2 (1+ cosj)2 + a2 sin2 j |
|
dj |
2a=ò |
|
|
|
dj 4aò =cos2 |
dj |
||||||
2(1 + cosj) |
|||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
p |
j |
|
|
|
|
j |
|
p |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= 4a òcos |
|
|
dj |
= 8a sin |
|
|
= 8a. < |
|
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
2.7.3. Обчислення об’ємів тіл
Обчислення об’єму тіла за відомими площами паралельних перерізів
Нехай площа перерізу деякого тіла площиною, перпендикулярною до осі ox, подана у вигляді S = S(x), де xÎ[a, b]. Тоді об’єм частини тіла, укладеної між площинами x = a і x = b, обчислюється за формулою
b |
|
|
|
V = ò S(x)dx. |
(2.32) |
||
a |
|
|
|
w Для доведення цієї формули розіб’ємо тіло наn частин перпе- |
|||
ндикулярними до осі ox площинами x = xi |
(i = |
|
) , де a = x0 < x1 < |
0, n |
|||
< x2 <…< xn = b. |
|
|
|
a |
xi-1 |
b |
x |
xi |
|
Рис. 2.17
Замінимо об’єм елементарного шару, укладеного між площинами x = xi–1 і x = xi (рис. 2.17), об’ємом елементарного циліндра з площею основи S(xi) (xi–1 £ xi £ xi) і висотою Dxi: DVi = S(xi)Dxi. Сума об’ємів
n
усіх циліндрів Vn = åS(xi )Dxi є інтегральною сумою для функціїS(x)
i =1
на відрізку [a, b].
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
42
Границя цієї інтегральної суми дорівнює об’єму тіла
|
n |
b |
|
|
|
|
|
||
V = lim |
åS (xi )Dxi = ò S (x)dx. £ |
|
|||||||
max Dxi |
®0 i =1 |
a |
|
|
|
|
|
||
Приклад 2.11. Обчислити об’єм еліпсоїда |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z 2 |
=1 (рис. 2.18). |
|||
a2 |
b2 |
c2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
► У перерізі еліпсоїда площиною x = const (a £ x £ b) вийде еліпс із півосями: b1 = b
1 - x2 
a2 , c1 = c
1 - x2 
a 2 .
|
z |
|
c |
|
-a |
-b |
0 |
b |
|
|
y |
|
a |
-c x 
Рис. 2.18. Еліпсоїд
Площа еліпса (див. приклад 2.4):
S (x) = р b1c1 = р bc(1 - x2 
a2 ).
Об’єм еліпсоїда обчислимо за формулою (2.32)
a |
|
x |
2 |
|
|
x |
3 |
|
a |
|
4 |
|
|
V = рbc ò |
(1 - |
|
)dx |
р=bc(x - |
|
|
) |
= |
рabc (од.3). (2.33) |
||||
a |
2 |
3a |
2 |
-a |
|
||||||||
-a |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При b = c із формули (2.33) одержимо об’єм еліпсоїда обертання
V = |
4 |
р ab2 . |
(2.34) |
||
|
|
||||
3 |
|
|
|
||
При a = b = c = R із формули (2.34) одержуємо об’єм кулі |
|
||||
V = |
4 |
р R3 . < |
(2.35) |
||
|
|||||
3 |
|
|
|||
Обчислення об’єму тіла обертання
Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оx криволінійної трапеції, обмеженої неперервною на відрізку [a, b] кривою y= f(x), віссю Оx і прямими x = a і x = b, обчислюється за формулою
b |
|
Vx = р ò f 2 (x)dx. |
(2.36) |
a
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
43
wПерерізом тіла площиною x = const є коло, площа якого S(x) =
=pf.2(x). Підставляючи цей вираз у формулу(2.32), отримаємо фор-
мулу (2.36). £
Приклад 2.12. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оx фігури, обмеженої лініями y = 4x - x2 і y = 0 (рис. 2.19).
► Застосовуючи формулу (2.18), одержимо:
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Vx = р ò(4x - x2 )2 dx = р ò(16x2 - 8x3 + x4 )dx = |
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
16 |
x |
3 |
- 2x |
4 |
|
x5 |
|
|
4 |
512 |
|
|||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
= р( |
|
|
|
+ |
|
) |
|
= |
|
р . < |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
y = 4x - x2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.19
Зауваження. Якщо крива задана параметричними рівняннями (2.28), то об’єм тіла обертання навколо осі Оx обчислюється за формулою
b |
2 |
¢ |
|
|
Vx = р ò y |
(2.37) |
|||
|
(t)x (t)dt. |
a
Приклад 2.13. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оx еліпса x = acost, y = bsint, де 0 £ t £ p (еліпсоїд обертання).
► Об’єм обчислимо за формулою(2.37) з урахуванням симетрії
тіла:
0 p
Vx = -р ò(bsin t)2 a sin tdt = - р ab2 ò(1 - cos2 t)d cost =
p |
|
|
|
0 |
|
|||
= - р ab2 (cos t - |
cos3 t |
) |
|
p |
= |
4 |
р ab2 . < |
|
|
||||||||
|
|
|||||||
3 |
|
|
0 |
3 |
|
|||
|
|
|||||||
Зауваження. Якщо криволінійна трапеція, що обмежена неперервною кривою x = j(y), віссю Оy і прямими y = c, y = d, обертається навколо осі Оy, то об’єм отриманого тіла обчислюється за формулою
d |
|
Vy = р òj2 ( y)dy. |
(2.38) |
c
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
44