►Обчислюючи похідні x¢ = a(1-cost), y¢ = asint і підставляючи їх
уформулу (2.11), знаходимо
2p |
|
2p |
|
2p |
t |
|
|
|
|
||||||
l = ò |
a2 (1 - cos t)2 + a2 sin 2 tdt = a ò |
2(1 - cos t) |
dt = 2a ò sin |
dt = |
|||
2 |
|||||||
0 |
0 |
0 |
|
||||
|
|
||||||
= -4a cos t 2
2p
= -4a(cosp - cos 0) = 8a. <
0
Обчислення довжини дуги кривої у полярних координатах
Довжина дуги кривої, що задана рівнянням у полярних координатах r = r(j) (a £ j £ b), де r(j) і r¢(j) неперервні на відрізку [a, b], обчислюється за формулою
b |
|
|
|
|
|
|
2 |
¢ |
2 |
dj. |
(2.31) |
||
l = ò [r(j)] |
+[r (j)] |
|
||||
a
w Виразимо декартові координати (x, y) точки кривої через полярні
ìx = r cosj = r(j) cosj = x(j),
í
î y = r sin j = r(j) sin j = y(j).
Ці рівняння можна розглядати як параметричні рівняння кривої і для обчислення довжини дуги застосувати формулу (2.29).
Знайдемо похідні x¢(j), y¢(j) і підкореневий вираз у формулі (2.29)
ìx¢(j) = r¢(j) cosj - r(j) sin j |
¢ |
2 |
+ |
y[ |
¢ |
2 |
= r[ |
¢ |
2 |
2 |
(j). |
|
í ¢ |
¢ |
Þ [x |
(j)] |
|
(j)] |
(j)] + r |
|
|||||
îy |
(j) = r (j) sin j + r(j) cosj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставляючи цей вираз у формулу(2.29), отримаємо форму-
лу (2.31). £
Приклад 2.10. Знайти довжину кардіоїди r = a(1 + cosj) (рис. 2.16).
y
r
j
x
r = a (1 + cosj)
Рис. 2.16. Кардіоїда
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
41