Ряд, що стоїть у правій частині цієї рівності, рівномірно збіга-

¥

ється на [a, b] за теоремою 3. Але числовий ряд åun (x0 ) за умовою

n=1

¥

теореми збігається, отже, рівномірно збігається і ряд åun (x). Тоді

n=1

x

4.5.СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

4.5.1.Означення степеневих рядів. Перша теорема Абеля

Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

Зауваження. За допомогою заміни х – х0 = t ряд (4.15) можна зве-

¥

сти до вигляду åant n , тому всі властивості степеневих рядів досить

n=0

доказати для рядів виду:

Теорема 1 (перша теорема Абеля). Якщо степеневий ряд

(4.16) збігається при х = х0, то при будь-якому x: |x| < |x0| ряд (4.16) збігається абсолютно. Якщо ж ряд (4.16) розбігається при х = х0, то він розбігається при будь-якомуx: |x| > |x0|

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

126

¥

гресії. Таким чином, ряд åan xn при |x| < |x0| абсолютно збігається.

n = 0

Якщо відомо, що ряд (4.16) розбігається при х = х0, то він не може збігатися при | x | > |x0|, оскільки з вищедоведеного при цьому б випливало, що він збігається і в точці х0. £

Таким чином, якщо знайти найбільше з чисел х0 > 0 таких, що (4.16) збігається при х = х0, то областю збіжності даного ряду буде інтервал (– х0, х0), можливо, включаючи одну або обидві границі.

4.5.2. Радіус збіжності ряду

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

127

Отже:

·при – 1 < x < 1 ряд збігається;

·при x < –1 й x > 1 – розбігається;

·при х = 1 отримуємо гармонічний ряд, який, як відомо, розбігається;

Таким чином, радіус збіжності ряду, що розглядається R = 1, а інтервал збіжності [–1, 1). <

4.5.3. Формули для визначення радіуса збіжності степеневого ряду

Формула Д’Аламбера

¥

Розглянемо степеневий ряд å| an xn | і застосуємо до нього озна-

n=0

ку Д’Аламбера: для збіжності ряду необхідно, щоб

Формула (4.17) називається формулою Д’Аламбера для обчислення радіуса збіжності.

Формула Коші-Адамара

Користуючись радикальною ознакою Коші й міркуючи аналогічним чином, отримаємо висновок, що можна задати область збіжності

умови існування цієї границі, й знайти ще одну формулу для радіуса збіжності:

Формула (4.18) називається формулою Коші-Адамара.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

128

4.5.4. Основні властивості степеневих рядів. Почленне інтегрування та диференціювання степеневих рядів

Теорема 2 (друга теорема Абеля). Якщо R – радіус збіжності ряду (4.16) і цей ряд збігається при x = R, то він рівномірно збігається на інтервалі (– R, R)

¥

w Для"r : 0 < r < R знакододатний ряд å| an | r n збігається за

n=0

теоремою 1. Отже, ряд (4.16) рівномірно збігається в інтервалі[–ρ, ρ] за теоремою 1 пункту 4.4.3. Із вибору ρ знаходимо інтервал рівномірної збіжності – (–R, R). £

Наслідок 1. На будь-якому відрізку, що повністю лежить усередині інтервалу збіжності, сума ряду (4.16) є неперервною функцією.

w Члени ряду (4.16) є неперервними функціями, і ряд рівномірно збігається на проміжку, що розглядається. Тоді неперервність його суми випливає з теореми 2 пункту 4.4.4. £

Наслідок 2. Якщо границі інтегруванняα, β лежать у інтервалі збіжності степеневого ряду, то інтеграл від суми ряду дорівнює сумі інтегралів від членів ряду:

Доведення цього твердження випливає з теореми 3 пункту 4.4.4.

Теорема 3. Якщо ряд (4.16) має інтервал збіжності (–R, R), то ряд

отриманий почленним диференціюванням ряду(4.16), має той самий інтервал збіжності (–R, R), причому

тобто в інтервалі збіжності похідна від суми степеневого ряду дорівнює сумі ряду, отриманого його почленним диференціюванням

¥

w Візьмемо ρ: 0 < ρ < R і ζ: ρ < ζ < R. Тоді ряд åanx n збігається,

n=0

отже, lim anx n = 0, тобто $M :| anx n |< M "n ³ 0.

n®¥

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

129

Якщо |x| ≤ ρ, то

Таким чином, члени ряду (4.20) за модулем менше членів знако-

тобто є мажорантою для ряду(4.20) при x Î[-r, r]. Тому ряд (4.20)

(4.20) збігається у будь-якій внутрішній точці інтервалу (–R, R). Доведемо, що зовні цього інтервалу ряд (4.20) розбігається. Дійсно,

якщо б він збігався при x1 > R, то, інтегруючи його почленно на інтервалі (0, x2), R < x2 < x1, ми отримали б, що ряд (4.16) збігається в точці х2, що суперечить умові теореми. £

Зауваження. Ряд (4.20) можна, у свою чергу, почленно диференціювати скільки завгодно разів. Таким чином, можна зробити висновок: якщо степеневий ряд збігається на(–R, R), то його сума являє собою функцію, що має в інтервалі збіжності похідні будьякого порядку, кожна з яких є сумою ряду, отриманого з вихідного за допомогою почленного диференціювання відповідну кількість разів; при цьому інтервал збіжності для ряду з похідних будь-якого порядку є (–R, R).

4.5.5. Розвинення функції в степеневий ряд. Ряди Тейлора та Маклорена

Вище розглядалися степеневі ряди, для яких у межах області рівномірної збіжності сума ряду s(x) являє собою неперервну й нескінченно диференційовану функцію відх. Тепер поставимо обернену задачу: знайти степеневий ряд, сумою якого є дана функція.

Подання функції у вигляді

називається її розкладом у степеневий ряд.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

130

Теорема 4. Якщо функція f(x) розвинена в околі точких0 у степеневий ряд (4.22) з радіусом збіжності R, то:

1)функція f має на інтервалі (x0 – R, x0 + R) похідні всіх порядків, які можна знайти почленним диференціюванням

ряду (4.22):

3)ряди (4.22), (4.23) і (4.24) мають однакові радіуси збіжності

Доведення усіх трьох тверджень випливає із загальних властивостей степеневих рядів (теореми 2 і 3).

Теорема 5. Якщо функція f розвинена в деякому околі точки

w Диференціюємо т разів рівність (4.22), отримаємо:

f (m) (x) = m(m -1)...2 ×1× am + (m +1)m...2am+1 (x - x0 ) +

+ (m + 2)(m +1)...3am+2 (x - x0 )2 + ...

Приймемо х = х0, тоді f (m)(x0) = m!am, що доводить (4.25). £

Наслідок. Якщо в деякому околі заданої точки функція розвинеться у степеневий ряд, то цей розклад єдиний.

Якщо функція f(x) визначена у деякому околі точких0 і має у цій точці похідні всіх порядків, то ряд (4.25) називається рядом Тейлора.

Якщо в ряді Тейлора х0 = 0, то отримаємо ряд Маклорена:

Приклад 4.14. Знайдемо розклад у ряд Маклорена функції f(x) = 2x:

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

131