2.8. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ
Невласними інтегралами називаються:
1)інтеграли з нескінченними межами інтегрування;
2)інтеграли від необмежених функцій.
2.8.1. Інтеграли з нескінченними межами інтегрування
Нехай функція f(x) неперервна при a £ x < ¥. Тоді |
інтеграл із |
змінною верхньою межею |
|
b |
|
I (b) = ò f (x)dx |
(2.39) |
a |
|
є неперервною функцією верхньої межіb (рис. 2.20). Розглянемо питання про поведінку цього інтеграла при b ® ¥.
y
|
|
|
y = f (x) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (b ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 a |
|
|
|
b ® ¥ |
x |
|||
|
|
Рис. 2.20 |
|
|||||
Якщо існує скінченна границя |
|
|||||||
|
|
|
|
b |
(2.40) |
|||
|
|
lim ò f (x)dx, |
||||||
|
|
b®¥ |
a |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
то цю границю називаютьневласним інтегралом першого родувід функції ¦(x) на інтервалі [a; ¥) і позначають так:
¥ |
|
b |
|
ò f (x)dx = lim ò f (x)dx. |
(2.41) |
||
a |
b®¥ |
a |
|
|
|
||
При цьому кажуть, що невласний інтеграл збігається. Якщо границя (2.40) не існує або нескінченна, то кажуть, що невласний інтеграл
розбігається.
Геометричний зміст невласного інтеграла першого роду. Якщо
¦(x) ³ 0, то невласний інтеграл (2.41) чисельно дорівнює площі нескінченної області, що розташована між лініями y = f(x), x = a і віссю Ох.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
45
Аналогічно визначаються невласні інтеграли для інтервалів(-¥; b), (-¥; +¥):
|
b |
|
b |
|
|
ò f (x)dx = lim |
ò f (x)dx, |
(2.42) |
|
|
-¥ |
a®-¥ |
a |
|
|
|
|
||
¥ |
|
c |
¥ |
|
ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx, |
(2.43) |
|||
-¥ |
|
-¥ |
c |
|
де c - довільна фіксована точка осі Оx.
Якщо кожен із невласних інтегралів у правій частині рівності (2.43) існує, то існує й інтеграл, що стоїть ліворуч.
Приклад 2.14 |
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
dx |
|
b |
dx |
|
► ò |
|
|
|
= lim |
ò |
= |
x |
2 |
|
||||
1 |
|
+ x b®¥ |
1 |
x(x +1) |
||
éb |
dx |
b |
dx |
ù |
|
|
lim êò |
|
- ò |
|
|
ú |
= |
x |
x + |
|
||||
b®¥ ë1 |
1 |
1û |
|
|||
|
|
é |
ln |
|
x |
|
b |
- ln |
|
x |
+1 |
|
|
b |
ù |
= ln |
|
|
x |
|
|
|
b |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
lim |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
lim |
|
x +1 |
|
|
|
|
||||||||
|
b®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b®¥ |
|
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
1 |
|
|
|
ù |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
êln |
|
|
|
+ ln 2ú |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 +1 b |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b®¥ ë |
|
|
|
û |
|
||||||||||
Отже, інтеграл збігається. < |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Приклад 2.15 |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
xdx |
|
|
|
|
¥ |
xdx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
► -ò¥ |
|
= -ò¥ |
xdx |
+ òc |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 + x2 |
|
1 + x2 |
1 + x2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
é |
b |
|
1 |
ù |
|
||
lim |
êln |
|
|
- ln |
|
ú |
= |
|
b +1 |
2 |
|||||||
b®¥ |
ë |
|
û |
|
||||
ln 2.
1 |
|
c |
d (1 + x2 ) |
|
||
|
lim |
ò |
= |
1 + x |
2 |
+ |
|
||||||
2 a®-¥ a |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
b |
d (1 + x2 ) 1 |
|
|
|
2 |
|
c |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
b |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
+ |
|
limò= |
1 + x |
2 |
|
|
|
lim ln(1 + x |
|
) |
a |
+ |
|
lim ln(1 |
+ x |
|
) |
|
c |
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 b®¥ c |
|
|
|
|
2 a®-¥ |
|
|
|
|
|
|
2 b®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
lim |
éln(1 + c2 ) - ln(1 |
+ a2 )ù |
+lim éln(1 + b2 ) - ln(1 |
+ c2 )ù |
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
{a®-¥ |
ë |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
û |
b®¥ ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û} |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
é |
|
|
+ b |
2 |
) - lim ln(1 + =a |
2 |
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
êlim ln(1 |
|
|
)ú |
¥ - ¥. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ëb®¥ |
|
|
|
|
a®-¥ |
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Оскільки розбігається кожний із невласних інтегралів у правій частині рівності, то розбігається і даний інтеграл. <
Приклад 2.16. Для різних значень параметра p дослідити збіжність
¥ dx
інтеграла ò1 x p .
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
46
► Припустимо, що p ¹ 1. Тоді:
¥ dx |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
x1- p |
|
b |
1 |
|
|
|
ì |
|
1 |
, якщо p >1, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
- p |
|
|
|
|
|
|
|
1- p |
ï |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ò |
|
|
= lim |
ò x |
|
|
dx = lim |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
lim (b |
-1) = í1 |
- p |
|
||||
x |
p |
|
|
1 - p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
|
b®¥ |
1 |
|
|
|
|
b®¥ |
|
1 |
1 - p b®¥ |
ï |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
При p = 1 маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î¥, якщо p <1. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
¥ dx |
|
b |
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
b |
= lim (ln b - ln1) = +¥. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ò |
|
|
= lim |
ò |
|
|
= lim ln |
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
x b®¥ |
1 |
|
x |
b®¥ |
|
|
|
|
b®¥ |
|
|
|
|
||||||
Висновок: даний інтеграл збігається приp > 1 і розбігається при p £ 1. <
Якщо обчислити первісну дляf(x) важко, то існують ознаки, що дозволяють вирішити питання про збіжність чи розбіжність невласного інтеграла.
Ознаки порівняння для невласних інтегралів першого роду
Теорема 1. Нехай для всіхx ³ a виконується нерівність
0 £ f(x) £ j(x). Тоді:
¥
1) якщо інтеграл òj(x)dx збігається, то збігається й інте-
|
a |
|
¥ |
¥ |
¥ |
грал ò f (x)dx , причому ò f (x)dx £ òj(x)dx;
a |
a |
a
¥
2) якщо інтеграл ò f (x)dx розбігається, то й інтеграл
a
¥
òj(x)dx розбігається
a
Якщо підінтегральна функція змінює знак, то застосовують таку ознаку збіжності.
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. Якщо |
збігається |
інтегралò |
|
f (x) |
|
dx , то збіга- |
||||
|
|
||||||||||
|
¥ |
|
a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ється й інтеграл ò f (x)dx , який у цьому випадку називається |
||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
абсолютно збіжним |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|||
Якщо інтеграл ò f (x)dx |
збігається, |
а інтеграл ò |
|
f (x) |
|
dx розбіга- |
|||||
|
|
||||||||||
|
a |
|
|
|
a |
||||||
ється, то перший інтеграл називається умовно збіжним.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
47
¥
Приклад 2.17. Дослідити збіжність інтеграла òe- x2 dx .
1
► Це один з інтегралів, що не беруться в елементарних функціях.
При x ³ 1 виконується нерівність 0 < e-x2 |
£ e-x . Обчислимо інтеграл |
||||
¥ |
|
b |
|
|
|
òe- x dx = lim òe- x dx = lim (-e- x ) |
1b = lim (-e-b + e-1 ) = e-1. |
||||
1 |
b®¥ |
1 |
b®¥ |
b®¥ |
|
|
|
|
|
||
¥
Оскільки інтеграл òe- x dx збігається, то за теоремою 1 збігається
1
¥
й інтеграл òe- x2 dx , причому його значення не перевищує 1/е. <
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+¥ |
|
dx |
|
|||
Приклад 2.18. Дослідити збіжність інтеграла ò |
|
. |
|||||||||
|
10 |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 + x |
|||||
► При x ³ 1 виконується нерівність (1 + x10) –1 < x –10. Оскільки |
|||||||||||
|
|
¥ |
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
збігається інтеграл ò |
|
= |
(див. приклад 2.16), то за теоремою 1 |
||||||||
10 |
|
|
|||||||||
¥ |
|
1 |
x |
9 |
|
|
|
|
|||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
інтеграл ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
також збігається, і його значення не перевищує 1/9. < |
|||||||||
1 + x |
10 |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|||
Приклад 2.19. Дослідити збіжність інтеграла òe- x |
cos bxdx. |
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
► Підінтегральна |
функція знакозмінна. При |
x |
³ 0 виконується |
||||||||
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|||
нерівність |e-xcosbx| £ e-x. Оскільки інтеграл òe- x dx збігається (див. при-
0
¥
клад 2.17), то за теоремою 1 збігається й інтеграл ò e-x cosbx dx, але тоді
0
¥
на підставі теореми 2 абсолютно збігається й інтеграл òe- x cosbxdx . <
0
Зауваження. Теореми 1, 2 виконуються і для невласних інтегралів по інтервалах (-¥; b), (-¥; +¥).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
48