в) f (x) = Aeax ;

г) f (x) = eax (P(x) cos bx + Q(x) sin bx)?

9.У чому полягає метод варіації довільних сталих? Який вигляд має система рівнянь для визначення невідомих функцій C1 (x) і C2 (x)?

10.Викладіть спосіб розв’язання лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків із сталими коефіцієнтами.

3.3.СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

3.3.1. Основні поняття

Сукупність рівнянь виду

де y1 , y2 , ..., yn – шукані функції від незалежної змінної x, назива-

ється канонічною системою диференціальних рівнянь першого порядку.

Всяка сукупність n функцій

y1 = y1 (x, C1, ..., Cn ), y2 =y2 (x, C2 , ..., Cn ), yn =yn (x, Cn , ..., Cn ) (3.56)

називається загальним розв’язком системи (3.55), якщо вона перетворює всі рівняння системи (3.55) в тотожності. Процес знаходження розв’язків системи називається інтегруванням цієї системи.

Система рівнянь (3.55) розв’язана відносно похідних від шуканих функцій, тому її називають ще системою диференціальних рівнянь у нормальній формі, або нормальною системою.

Задача Коші для нормальної системи (3.55) ставиться так: знайти розв’язки (3.56), які задовольняють початкові умови (умови Коші)

y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , ..., yn (x0 ) = yn 0 ,

де x0 , y10 , y20 , ..., yn0 – задані числа.

Теорема Коші. Розв’язок задачі Коші існує і єдиний, якщо функції f1 , f 2 , ..., f n і їх частинні похідні по шуканих функціях неперервні

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

98

3.3.2. Розв’язання нормальної системи диференціальних рівнянь

Розв’язання нормальної системи диференціальних рівнянь здійснюється зведенням її до еквівалентного рівняння п-го порядку. Це робиться таким чином. Перше рівняння системи (3.55) диференціюємо ще раз по х і замість f '1 , f '2 , ..., fn' в нього підставляються їх значення із системи (3.55). У результаті дістанемо рівняння

y"1 = F2 (x, y1 , ..., yn ).

Диференціюючи його по х і діючи аналогічним чином, дістанемо

y'"1 = F3 (x, y1 , .., yn ).

Так ми діємо доти, поки отримаємо рівняння

Розв’яжемо його і отримаємо функцію y1 = y1 (x, C1 , ..., Cn ). Решту невідомих функцій y2, y3 , ..., yn знаходимо за допомогою допоміжних рівнянь, отриманих на попередніх етапах.

Зауваження. Якщо система (3.55) лінійна, то і відповідне їй рівняння вищого порядку теж лінійне.

3.3.3. Системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Сукупність п диференціальних рівнянь вигляду

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

99

інтервалі х, називається системою лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами. Якщо всі fi (x) = 0, то система (3.57) називається однорідною, в іншому ви-

падку – неоднорідною.

Проінтегрувати систему (3.57) – означає знайти систему функцій

які перетворюють рівності (3.57) в тотожності.

Задача Коші для системи (3.57) полягає в тому, щоб знайти такий розв’язок (3.58), який би при x = x0 приймав задані значення

y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , ..., yn (x0 ) = yn 0 .

Розв’язок задачі Коші називаєтьсячастинним розв’язком системи (3.57). Методом виключення (n -1) невідомих функцій система (3.57) зводиться до диференціального рівнянняп-го порядку відносно невідомої функції.

Приклад 3.27. Знайти загальний розв’язок однорідної системи

зведенням до диференціального рівняння другого порядку.

► Продиференціюємо обидві частини першого рівняння по змінній x :

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

100

Методом зведення до одного лінійного диференціального рівняння можна розв’язувати і неоднорідні системи.

Приклад 3.28. Знайти частинний розв’язок неоднорідної системи

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

101

Замінимо в отриманому рівнянні dy2 правою частиною другого dx

y1одн = c1e-2 x + c2 ex .

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

102