- •ВСТУП
- •1. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
- •Основні властивості невизначеного інтеграла
- •Таблиця невизначених інтегралів
- •1.2. ОСНОВНІ МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ
- •1.2.1. Безпосереднє інтегрування
- •1.2.2. Метод заміни змінної (метод підстановки)
- •1.2.3. Інтегрування частинами
- •1.4. ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ
- •1.5. ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ
- •Питання для самоперевірки
- •2. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
- •2.2. ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
- •2.4. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНІЦА
- •2.5. ЗАМІНА ЗМІННОЇ У ВИЗНАЧЕНОМУ ІНТЕГРАЛІ
- •2.7.1. Обчислення площ плоских фігур
- •2.7.2. Обчислення довжини дуги кривої
- •Обчислення довжини дуги кривої у полярних координатах
- •2.7.3. Обчислення об’ємів тіл
- •Обчислення об’єму тіла обертання
- •2.8. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ
- •2.8.1. Інтеграли з нескінченними межами інтегрування
- •Ознаки порівняння для невласних інтегралів першого роду
- •2.8.2. Інтеграли від необмежених функцій
- •Ознаки порівняння для невласних інтегралів другого роду
- •2.10. ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ
- •Геометричний зміст подвійного інтеграла
- •Властивості подвійного інтеграла
- •Обчислення подвійного інтеграла
- •Питання для самоперевірки
- •3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ І РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ
- •3.1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
- •3.1.1. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь
- •3.1.4. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
- •3.1.5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
- •3.1.6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
- •3.1.7. Рівняння Бернуллі
- •Питання для самоперевірки
- •3.2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
- •3.2.3. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •Метод невизначених коефіцієнтів
- •Метод варіації довільних сталих
- •3.2.6. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
- •Питання для самоперевірки
- •3.3. СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
- •3.3.1. Основні поняття
- •Питання для самоперевірки
- •3.4. РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ
- •3.4.1. Основні поняття
- •3.4.2. Розв’язання різницевих рівнянь
- •Розв’язання різницевих рівнянь першого порядку
- •Розв’язання різницевого рівняння другого порядку
- •Питання для самоперевірки
- •4. РЯДИ
- •4.1. ЧИСЛОВІ РЯДИ
- •4.1.1. Збіжність і сума ряду
- •4.1.2. Найпростіші властивості збіжних рядів
- •4.1.3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4.1.4. Залишок ряду
- •4.1.5. Ряди з невід’ємними членами, критерій збіжності
- •4.2. ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ ІЗ НЕВІД’ЄМНИМИ ЧЛЕНАМИ
- •4.2.1. Інтегральна ознака Коші
- •4.2.2. Ознаки порівняння
- •4.2.3. Ознака Д’Аламбера
- •4.2.4. Радикальна ознака Коші
- •4.3. ЗНАКОПОЧЕРЕЖНІ РЯДИ
- •4.3.1. Абсолютна та умовна збіжність
- •4.3.2. Ознака Лейбніца
- •4.3.3. Властивості абсолютно збіжних рядів
- •Питання для самоперевірки
- •4.4. ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ
- •4.4.1. Область збіжності
- •4.4.2. Рівномірна збіжність функціонального ряду
- •4.4.3. Ознака Вейєрштрасса
- •4.4.4. Властивості рівномірно збіжних рядів
- •4.5. СТЕПЕНЕВІ РЯДИ
- •4.5.1. Означення степеневих рядів. Перша теорема Абеля
- •4.5.2. Радіус збіжності ряду
- •Формула Д’Аламбера
- •Формула Коші-Адамара
- •Розвинення у степеневий ряд деяких елементарних функцій
- •4.5.6. Застосування степеневих рядів
- •СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
► |un| = |
1 |
> |
1 |
(оскільки ln n < n), тому за першою ознакою по- |
|
ln n |
n |
||||
|
|
|
¥
рівняння ряд å| un | розбігається, тобто властивості абсолютної збіж-
n=2
ності цей ряд не має. Перевіримо для нього виконання умов теореми 2: 1) із монотонного зростання функції y = ln x випливає, що
ln(n + 1) > ln n, тому |
1 |
< |
1 |
; |
ln(n +1) |
|
|||
|
|
ln n |
||
2) lim 1 = 0.
n®¥ ln n |
|
n |
|
|
¥ |
(-1) |
|
||
Отже, за ознакою Лейбніца ряд å |
|
збігається умовно. < |
||
ln n |
||||
n=2 |
|
|||
4.3.3. Властивості абсолютно збіжних рядів
¥
Теорема 3. Якщо ряд åun абсолютно збігається, то будь-
n =1
який ряд, складений із членів даного ряду, узятих, можливо, в іншому порядку, також абсолютно збігається і має ту ж саму суму
¥ ~ |
, складений із членів ряду |
¥ |
|
w Розглянемо ряд åum |
åun . Оскіль- |
||
m =1 |
|
n =1 |
|
¥ |
|
|
|
ки ряд åun збігається, можна знайти номер N такий, |
що |sN – s| < |
||
n =1 |
|
|
|
|
|
~ |
M ~ |
< e / 2. Оберемо тепер номерМ такий, що часткова сума sM |
= åum |
||
m=1
містила б усі доданки, що входять у суму sN. Тоді для будь-якого m > M
часткову суму ~ можна подати у вигляді: sm
~ |
= sN |
~ |
, |
sm |
+ sm |
~ |
– сума доданків з номерами, більшими за N, тому: |
|
|
||||||||
де sm |
|
|
|||||||||
|
|
~ |
|
¥ |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å | un |< |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
| sm |
|£ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n=N +1 |
|
|
|
|
|
|
|
Тоді при т > M маємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
e |
e |
||
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
| s - sm |
|=| s - (sN + sm ) | £ | s - sN | + | sm |
| < |
|
+ |
|
= e. |
||||
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
120