1.4. ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

R(x) =

Q (x)

=

b xm + b xm -1

+ ... + b

(a

, b ¹ 0),

(1.7)

m

0

1

m

P (x)

a

xn + a xn -1

+ ... + a

n

0

0

n

0

1

Приклад 1.15

►

x4 - x3 - 9x2 -10x -14

= x2 + x +1 -

6

.

x2 - 2x - 8

x2 - 2x - 8

-

x4 - x3 - 9x2 -10x -14

x2

- 2x - 8

x4 - 2x3 - 8x2

x

2 + x +1

1)

A

;

2)

A

; 3)

Ax + B

; 4)

Ax + B

,

x + a

(x + a)k

x2 + px + q

(x2 + px + q)k

A

ìt = x + aü

dt

1)

ò

dx = í

ý

= A

ò

= Aln

t

+ C = Aln

x + a

+ C;

x + a

î dt = dx þ

t

A

ìt = x + aü

t

-k +1

A

2)

ò

dx = í

ý =

A t -k dt = A

+C =

+C;

(x + a)k

-k +1

(1- k)(x + a)k-1

î dt = dx þ

ò

Аx + B

ì

1

2

p ü

ï

ï

3) ò

dx =

ít =

2 (x

+ px + q)'= x +

2 ý

=

x

2

+ px

+ q

ï

dt = dx;

x = t - p 2

ï

p

î

þ

A(t -

) + B

tdt

Ap

dt

= ò

2

dt = Aò

+ (B -

)ò

=

(t -

p

2

+ p(t -

p

) + q

2

p2

2

2

p2

)

t

+ (q -

)

t

+ (q -

)

2

2

4

4

A

+ q -

p2

+ (B - Ap 2)arctg

t

+ C =

=

ln

t 2

2

4

q - p2 4

q - p2 4

=

A

ln

x2 + px + q

+

(B - Ap 2)

arctg

x + p 2

+ C;

2

q - p2 4

q - p2 4

Ax + B

ì

1

2

p ü

ï

ï

4) ò

dx

=

ít

= 2 (x + px + q)' = x + 2 ý

=

(x

2

+ px

k

+ q)

ï

dt = dx;

x = t - p

2

ï

î

þ

tdt

æ

Ap ö

dt

= Aò

+

èç B -

ø÷ò

.

[t 2 + (q - p2 4)]k

2

[t 2 + (q - p2 4)]k

Введемо позначення s 2 = q - p2

4 й обчислимо інтеграли, що роз-

ташовані у правій частині.

tdt

=

ìz = t 2

+ s 2 ü

=

1

dz

=

1

1

+ C

=

í

ý

ò (t 2

+ s2 )k

= 2tdt

2

ò z k

î dz

þ

2 (1 - k)z k -1

1

=

1

+ C1.

2(1 - k)(t 2

+ q - p2 4)k -1

Ik = ò

dt

=

1

ò

s 2 dt

=

1

ò

(t 2

+ s2 ) - t

2

dt =

(t

2

+ s

2

)

k

s

2

(t

2

+ s

2

)

k

s

2

(t

2

+ s

2

)

k

1 é

dt

t 2 dt

ù

1 é

1

td (t 2 + s2 ) ù

=

êò

- ò

ú

=

êI k -1 -

ò

ú

=

s

2

(t

2

+ s

2

)

k -1

(t

2

+ s

2

)

k

s

2

2

(t

2

+ s

2

)

k

ë

û

ë

û

ì

u = t;

du = dt

ü

ï

d (t

2

+ s

2

)

1

ï

=

= í

2

2

-k

2

2

ý

ïdv

=

;

v = ò(t

+ s

)

d (t

+ s

) =

ï

(t

2

+ s

2

)

k

(1 - k)(t

2

+ s

2

)

k -1

î

þ

1

é

I

1

æ

t

1

dt

öù

+ C

=

ê

k

-1

-

ç

-

ò

÷

2

=

2

2

2

k -1

2

2

k -1

s

2

ç

- k)(t

+ s

)

(1- k)

(t

+ s

)

÷ú

ë

è (1

øû

1

éæ

1

ö

t

ù

+ C

=

ç1 +

÷I

k

-1

-

ú

2

.

2

2

2

k -1

s

êç

2(1 - k)

÷

2(1- k)(t

+ s

)

ëè

ø

û

I1 =

dt

=

1

arctg

t

+ C.

ò t 2 + s 2

s

s

Таким чином, усі прості дроби інтегруються в елементарних

функціях.

Розкладемо многочлен Pn (x)

із дійсними коефіцієнтами, що стоїть

у знаменнику дробу (1.7), на лінійні та квадратичні множники:

P (x) = a

0

(x - x )m1

... x( - x

r

)mr (x2 + p x + q )k1

...(x2 + p

j

x + q

j

)k j

n

1

1

1

1

r

( 1

j )

( i

i