Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Украинская академия банковского дела Национального банка Украины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Частина 3 навчальний посібник.pdf

Скачиваний:

139

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

976.3 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 375 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

8x3 -10x2 - 30x +19

dx = 2ò

- ò

(6x +11)dx

(x - 2)

+ 4x + 5)

- 2

- 2)

+ 4x + 5

x - 2

+ ò

(6x +11)dx

= 2ln

x - 2

x2 + 4x + 5

Обчислимо останній інтеграл

(6x +11)dx

ìt = x + 2ü

6(t - 2) +11

6ò

tdt

- ò

+ 4(t - 2)

+ 5

+ 4x + 5

î dt = dx

(t -

= 3ln

t2 +1

- arctgt + C =3ln

x2 + 4x + 5

- arctg(x + 2) + C.

Нарешті, одержимо

I = 2ln

x - 2

+ 3ln

x2 + 4x + 5

- arctg(x + 2) + С. <

x - 2

1.5. ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ

Інтеграли від деяких ірраціональних функцій за допомогою заміни змінної вдасться звести до інтегралів від раціональних функцій.

Розглянемо інтеграл виду

, L, (ax + b)

(1.13)

ò Rç x, (ax + b)

÷dx,

де R

- раціональна функція аргументів;

a, b

- сталі;

mi , ni (i =

- цілі додатні числа.

1, k)

Підінтегральну функцію можна раціоналізувати за допомогою

підстановки

ax + b = t n , де n = НСК (n , ....., n

)

найменше спільне

кратне показників коренів.

Приклад 1.19

ì x +1 = t 6 ü

t3 +1

(t +1)(t 2 - t +1)

► ò

dx = í

= ò

dt =

6ò

dt =

3 x

+1 -1

îdx = 6t5dtþ

t2 -1

(t +

1)(t -1)

t 7 - t 6 + t 5

= 6ò

dt = 6ò

çt

+ t

+ 1

÷dt =

t -1

t -1ø

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

ax + b

æ t 7

t 4

t 2

çæ 6

(x +1)7

(x + 1)5

6ç

+ t + ln

t -1

+ С = 6

+1)2

x +1

6 x +1 + ln

6 x +1 -1

+ С.

- t

+ t

t -1

+ t

-t 7 - t 6

_________

_ t5

t5 - t 4

_ t 4

t 4 - t 3

_ t3

t 3 - t 2

_ t 2

t 2 - t

_ t

t-1

1.<

Інтеграли виду

	æ			m1
		æ ax + b ö n1
	ç
ò R	ç	x, ç	÷

		è cx + d ø
	è

æ ax + b ö nk

,..., ç ÷ è cx + d ø

÷÷dx (1.14)

раціоналізуються за допомогою підстановки cx + d = t n ,

де n = НСК (n1, …, nk) - найменше спільне кратне показників коренів.

Приклад 1.20

ì1 - x

1 - t 2

4tdt

► ò

1 - x

= t

;

x =

; dx = -

= í

1 + x

+ x

1 + t 2

(1 + t 2 )2

= -4ò

t 2dt

= 2ò

(t 2

-1) + (t 2 + 1)

=2ò

- 2ò

+1)(1 - t

)

+ 1)(t

-1)

+ t

- t

t -1

1 -

1 - x2

= 2arctgt + ln

+ С = 2arctg

1 - x

+ ln

+ С. <

t + 1

1 + x

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

1.6. ІНТЕГРУВАННЯ ДЕЯКИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ

1.Інтеграли виду ò R(sin x, cos x)dx, де R - раціональна функція аргу-

ментів, за допомогою універсальної тригонометричної підстано-

вки t = tg( x / 2) зводяться до інтегралів від раціональних функцій

змінної t:

t = tg

dx =

2dt

1 - t

ö 2dt

1 + t

ò R(sin x, cos x)dx = í

= òRç

ïsin x =

cos x =

1 - t

1 + t

+ t

+ t 2

1+ t 2

Приклад 1.21

2dt

► ò

= ò

- 4sin x + 7 cos x

1 - t

(1 + t

)ç

+ 7

1 + t

+ t

= 2 = =dt =

ìz = t - 4ü

1 - z

+ С = ln

5 - t

+ С =

òt2 - 8t +15

î dz = dt

ò z2 -1

1 + z

t - 3

= ln 5 - tg( x2) + С. < tg( x2) - 3

Універсальну тригонометричну підстановку доцільно застосовувати для обчислення інтегралів виду

ò	dx			, ò	dx			, ò	dx	.
	sin	2 n+1			cos	2 n+1			a cos x + b sin x + c
			x				x

Універсальна підстановка часто приводить до громіздких обчислень. Розглянемо декілька випадків, у яких можна раціоналізувати підінтегральну функцію, використовуючи інші підстановки.

sin x = t

òR(sin x) cos xdx = ícos xdx = dt

òR(t)dt.

cos x = t

= -òR(t)dt.

ò R(cos x)sin xdx = í

î- sin xdx = dtþ

Приклад 1.22

sin x = t

► ò

cos xdx

= ò

arctg

+ C =

4 + sin 2 x

2 + t 2

îcos xdx = dt þ

æ sin x ö

+ C. <

arctgç

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

ì	dt		ü		dt
4. òR(tgx)dx = ítgx = t; dx =			ý	=òR(t)			.
4. òR(tgx)dx = ítgx = t; dx =	1 + t	2	ý	=òR(t)	1 + t	2	.
î	1 + t		þ		1 + t

Приклад 1.23

► ò

1 + tg2 x

dt ü

= ò

1 + t 2

= ò

dx = ítgx = t; dx =

4 + tgx

1 + t

+ t 1

+ t

t + 4

= ln t + 4 + C = ln tgx + 4 + C. <

tgx = t;

sin 2 x =

1 + t

5. ò R(sin 2 x,cos2 x)dx = í

ïdx =

;

cos2 x =

1 + t

t 2

= òRç

+ t

1 + t

2 ÷

+ t

2 .

Приклад 1.24

tgx

= t;

sin 2 x =

cos

(1 + t

)

1 + t

2 ï

►

ý = ò

sin8 x

ïdx

;

cos2 x =

(1 + t 2 )2 t8

(1 + t 2 )

1 + t

2 ï

1+ t

-8

-6

-7

-5

= ò

dt = ò(t

+ t

)dt =

+ С = -ç

+ С. <

- 7

- 5

è 7tg

x 5tg

x ø

Приклад 1.25

tgx = t

► ò

=ò

= ò

= í

sin 2 x + 2 cos2

(tg2 x + 2) cos2

= dtï

t 2

+ 2

îcos

arctg

+ С =

arctg

+ С. <

òsin 2m x cos2n+1 xdx = òsin 2m x cos2n x cos xdx =

sin x = t

òt 2m (1

- t 2 )n dt.

= òsin 2m x(1 - sin 2 x)n cos xdx =í

ý =

îcos xdx = dt

òcos2m x sin 2n+1

xdx =

cos x = t

= -òt 2m (1 - t 2 )n dt.

îdt = -sin xdxþ

òsin 2m+1 x cos2n+1 xdx = {sin x = t

або cos x = t}= ±òt 2m+1 (1 - t 2 )n dt.

òsin

x cos

xdx = ísin

x =

(1 - cos 2x),

cos

x =

(1 + cos 2x)ý.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 375 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.2018222.72 Кб4цивільн. проц.мет ден 1 част брош цивільн. проц....doc
#
05.11.2018451.58 Кб3Цивільне право (3 частина).doc
#
14.11.201946.48 Кб2цивільний процес.docx
#
08.05.2019186.88 Кб1ЦП Курс раб метод2005.doc
#
20.02.2016772.18 Кб19Частина 2.pdf
#
20.02.2016976.3 Кб139Частина 3 навчальний посібник.pdf
#
20.02.20161.14 Mб79Частина 4 практикум.pdf
#
19.09.20191.94 Mб0Чернадчук Дисс печать+++++.doc
#
18.09.2019303.1 Кб5шпора (общая).doc
#
29.10.20181.05 Mб14ШПОРА мен.doc
#
20.12.2018312.74 Кб4шпора по ЭТиСТО.docx