Ця система може бути розв’язана зведенням до різницевого рівняння n-го порядку за аналогією з методом розв’язання системи диференціальних рівнянь.

Підставляючи в рівняння (3.70), одержуємо at - aat - 1 = at - at = 0.

Отже, yt одн = at є розв’язком рівняння (3.70). Загальним розв’язком рівняння (3.70) є функція

yt одн = Cat ,

де С – довільна стала.

Нехай yt – частинний розв’язок неоднорідного рівняння (3.69). Тоді загальним розв’язком різницевого рівняння (3.69) є функція

yt = ytодн + yt = Cat + yt .

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

105

Знайдемо частинний розв’язок різницевого рівняння(3.69), якщо f (t) = A, де А – деяка стала.

Шукатимемо розв’язок у вигляді сталого m. Маємо

Приклад 3.29. Знайти за допомогою різницевого рівняння формулу приросту грошового внеску А в ощадбанку, вкладеного під р % річних.

де С – стала, яку можна розрахувати за початковими умовами.

Якщо прийняти y0 = A, то С = А, звідки

Це відома формула підрахунку приросту грошового внеску, вкладеного в ощадбанк під складний відсоток. <

Розв’язання різницевого рівняння другого порядку

Розглянемо неоднорідне різницеве рівняння другого порядку

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

106

то функція

yt одн = k t

є розв’язком однорідного рівняння (3.72).

Дійсно, підставляючи k t в ліву частину рівняння(3.72) і, враховуючи (3.73), дістанемо

k t + pk t -1 + qk t - 2 = k t - 2 (k 2 + pk + q)= 0.

Таким чином, якщо k – корінь рівняння (3.73), то k t – розв’язок рівняння (3.72).

Рівняння (3.73) називається характеристичним рівнянням для рівняння (3.72).

Якщо дискримінант p 2 - 4q характеристичного рівняння(3.73) більше нуля, то рівняння (3.73) має два різні дійсні корені k1 і k2 , а загальний розв’язок однорідного рівняння (3.72) має такий вигляд:

Приклад 3.30. Знайти розв’язок різницевого рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

yt - 5yt -1 + 6 yt - 2 = 7,

що задовольняє початковим умовам

y0 = 5, y1 = 9.

► Характеристичне рівняння для відповідного однорідного різницевого рівняння таке:

розв’язком однорідного різницевого рівняння є функція yt = C1 2t + C2 3t.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

107

Припустимо далі, що yt = c є частинним розв’язком неоднорідного рівняння, тоді c - 5c + 6c = 7, звідки

2c = 7; c = 7 .

2

Таким чином, загальним розв’язком заданого неоднорідного рівняння є функція

Питання для самоперевірки

1.Яке рівняння називається різницевим неоднорідним(однорідним) рівнянням п-го порядку зі сталими коефіцієнтами?

2.Дайте означення загального (частинного) розв’язку різницевого рівняння.

3.Запишіть структуру загального розв’язку неоднорідного різницевого рівняння.

4.Як розв’язується різницеве рівняння: а) першого порядку?

б) другого порядку?

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

108