- •ВСТУП
- •1. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
- •Основні властивості невизначеного інтеграла
- •Таблиця невизначених інтегралів
- •1.2. ОСНОВНІ МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ
- •1.2.1. Безпосереднє інтегрування
- •1.2.2. Метод заміни змінної (метод підстановки)
- •1.2.3. Інтегрування частинами
- •1.4. ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ
- •1.5. ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ
- •Питання для самоперевірки
- •2. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
- •2.2. ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
- •2.4. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНІЦА
- •2.5. ЗАМІНА ЗМІННОЇ У ВИЗНАЧЕНОМУ ІНТЕГРАЛІ
- •2.7.1. Обчислення площ плоских фігур
- •2.7.2. Обчислення довжини дуги кривої
- •Обчислення довжини дуги кривої у полярних координатах
- •2.7.3. Обчислення об’ємів тіл
- •Обчислення об’єму тіла обертання
- •2.8. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ
- •2.8.1. Інтеграли з нескінченними межами інтегрування
- •Ознаки порівняння для невласних інтегралів першого роду
- •2.8.2. Інтеграли від необмежених функцій
- •Ознаки порівняння для невласних інтегралів другого роду
- •2.10. ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ
- •Геометричний зміст подвійного інтеграла
- •Властивості подвійного інтеграла
- •Обчислення подвійного інтеграла
- •Питання для самоперевірки
- •3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ І РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ
- •3.1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
- •3.1.1. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь
- •3.1.4. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
- •3.1.5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
- •3.1.6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
- •3.1.7. Рівняння Бернуллі
- •Питання для самоперевірки
- •3.2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
- •3.2.3. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •Метод невизначених коефіцієнтів
- •Метод варіації довільних сталих
- •3.2.6. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
- •Питання для самоперевірки
- •3.3. СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
- •3.3.1. Основні поняття
- •Питання для самоперевірки
- •3.4. РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ
- •3.4.1. Основні поняття
- •3.4.2. Розв’язання різницевих рівнянь
- •Розв’язання різницевих рівнянь першого порядку
- •Розв’язання різницевого рівняння другого порядку
- •Питання для самоперевірки
- •4. РЯДИ
- •4.1. ЧИСЛОВІ РЯДИ
- •4.1.1. Збіжність і сума ряду
- •4.1.2. Найпростіші властивості збіжних рядів
- •4.1.3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4.1.4. Залишок ряду
- •4.1.5. Ряди з невід’ємними членами, критерій збіжності
- •4.2. ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ ІЗ НЕВІД’ЄМНИМИ ЧЛЕНАМИ
- •4.2.1. Інтегральна ознака Коші
- •4.2.2. Ознаки порівняння
- •4.2.3. Ознака Д’Аламбера
- •4.2.4. Радикальна ознака Коші
- •4.3. ЗНАКОПОЧЕРЕЖНІ РЯДИ
- •4.3.1. Абсолютна та умовна збіжність
- •4.3.2. Ознака Лейбніца
- •4.3.3. Властивості абсолютно збіжних рядів
- •Питання для самоперевірки
- •4.4. ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ
- •4.4.1. Область збіжності
- •4.4.2. Рівномірна збіжність функціонального ряду
- •4.4.3. Ознака Вейєрштрасса
- •4.4.4. Властивості рівномірно збіжних рядів
- •4.5. СТЕПЕНЕВІ РЯДИ
- •4.5.1. Означення степеневих рядів. Перша теорема Абеля
- •4.5.2. Радіус збіжності ряду
- •Формула Д’Аламбера
- •Формула Коші-Адамара
- •Розвинення у степеневий ряд деяких елементарних функцій
- •4.5.6. Застосування степеневих рядів
- •СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
4.РЯДИ
4.1.ЧИСЛОВІ РЯДИ
4.1.1.Збіжність і сума ряду
Нескінченна сума чисел
¥ |
|
u1 + u2 + ... + un + ... = åun , |
(4.1) |
n = 1
де кожне число un можна обчислити, знаючи його номер n, називається числовим рядом. При цьому формула un = f (n) називається формулою загального члена ряду.
Сума n перших членів ряду називаєтьсяn-ю частковою сумою
ряду: |
|
Sn = u1 + u2 + ... + un . |
(4.2) |
Якщо існує скінченна границя часткових сум ряду |
|
S = lim Sn , |
(4.3) |
n®¥ |
|
то говорять, що ряд збігається, а число S називається сумою ряду. Якщо не існує скінченної границі часткових сум ряду, тоді ряд (4.1)
називається розбіжним.
Зауваження. Властивості числових рядів визначаються властивостями числових послідовностей {Sn }.
|
Приклад 4.1. Ряд |
1 |
+ |
1 |
+ ... + |
1 |
|
+ ... |
збігається, оскільки являє со- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2п |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прогресію |
|
із |
|
знаменником |
||||||||||||||||||||||||||||
бою нескінченно спадну |
геометричну |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q = |
1 |
, суму якої можна знайти за формулою: S = |
|
b1 |
= |
|
|
1/ 2 |
|
|
|
=1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 - q |
|
-1/ 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
Приклад 4.2. Розглянемо |
ряд |
|
1 |
|
+ |
1 |
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ .... Ві- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 × 4 |
(n +1)(n + 2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
зьмемо загальний член ряду у вигляді: un = |
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
- |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Часткова сума Sn матиме такий вигляд: |
|
|
(n +1)(n + 2) |
|
|
|
n + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Sn = |
1 |
- |
1 |
+ |
1 |
- |
1 |
+ |
1 |
- |
1 |
+ ... + |
|
1 |
|
- |
1 |
|
= |
1 |
- |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 3 3 4 4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 n + 2 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
109
Тоді lim Sn = lim( |
1 |
|
- |
|
1 |
) = |
1 |
. Таким чином, |
ряд збігається і його |
||||
|
n |
|
|
||||||||||
n®¥ |
n®¥ 2 |
|
+ 2 2 |
|
|
|
|
|
|||||
сума дорівнює 1/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приклад 4.3. Ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 +… розбігається, оскільки |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
lim Sn = lim n = ¥. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n®¥ |
|
n®¥ |
|
|
|
|
||
Приклад 4.4. |
Ряд 1 -1 +1 -1 + ... + (-1)n+1 + ... |
також |
розбігається, |
||||||||||
оскільки послідовність |
його |
часткових сум має |
S =1, S |
2 |
= 0, |
||||||||
вигляд: |
1 |
|
|||||||||||
S3 =1, S4 =0..., а така послідовність границі не має.
4.1.2. Найпростіші властивості збіжних рядів
Теорема 1. Вилучення або додавання скінченної кількості доданків не впливає на збіжність ряду
w Вилучимо з ряду (4.1) довільні k членів та оберемо значення n, при якому всі відкинуті члени містяться у частковій сумі Sn . Тоді
Sn = ck |
+ Sn - k , |
де ck – сума відкинутих членів ряду, а Sn-k – сума членів, |
||||||||
що входять у Sn , |
але не входять у ck . |
|
|
|||||||
Тоді |
lim Sn = lim ck |
+ lim Sn-k |
= ck + lim Sn-k , оскільки ck |
– стала |
||||||
|
|
|
n®¥ |
|
n®¥ |
n®¥ |
n ®¥ |
|
|
|
величина, |
що |
не |
залежить відn. Таким чином, скінченні |
границі |
||||||
lim Sn |
та lim Sn-k |
існують або не існують одночасно, що й доводить |
||||||||
n®¥ |
|
|
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
твердження теореми. £ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Теорема 2. |
Якщо збігається рядu1 + u2 + ... + un + ... |
і його |
|
|||||
|
|
сума S, |
то збігається й ряд cu1 + cu2 + ... + cun + ... |
(де c – |
|
|||||
|
|
довільна константа), сума якого дорівнює cS |
|
|
||||||
w Позначимо часткову суму другого ряду cn. Тоді |
|
|
||||||||
|
|
|
|
lim cn = lim c × Sn |
= c × lim Sn = c × S. £ |
|
|
|||
|
|
|
|
n®¥ |
|
n®¥ |
n®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Теорема 3. Якщо ряди |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
a1 + a2 + ... + an + ..., |
(4.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 + b2 + ... + bn + ... |
(4.5) |
|
|
збігаються та їх суми відповідно дорівнюють Sa та Sb , то ряди
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
110
|
(a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) + ... + (an + bn ) + ..., |
(4.6) |
|
|
(a1 - b1 ) + (a2 - b2 ) + ... + (an - bn ) + ... |
(4.7) |
|
|
також збігаються, а їх суми дорівнюють Sa + Sb |
та Sa - Sb |
|
|
відповідно |
|
|
w Припустимо, що s n – часткова сума ряду (4.6), |
а (Sa )n та |
||
(Sb )n – часткові суми з тієї ж кількості доданків рядів(4.4) і (4.5).
Тоді s n = (Sa )n + (Sb )n , тому lim s n = lim ((Sa )n + (Sb )n ) = Sa + Sb . Та-
n®¥ n®¥
ким чином, ряд (4.6) збігається, а його сума дорівнює Sa + Sb . Аналогічно доводиться збіжність ряду (4.7). £
4.1.3. Необхідна ознака збіжності ряду
Головним питанням під час дослідження числового ряду є його збіжність або розбіжність. Сформулюємо необхідну умову збіжності ряду, тобто умову, при невиконанні якої ряд розбігається.
Теорема 4. Якщо ряд (4.1) збігається, то
lim un = 0
n®¥
w Візьмемо un як різницю часткових сумSn - Sn-1. Оскільки ряд (4.1) збігається, то
lim Sn = lim Sn-1 = S.
n®¥ n®¥
Тоді
lim un |
= lim (Sn |
- Sn-1 ) = lim Sn |
- lim Sn-1 = S - S = 0. £ |
n®¥ |
n®¥ |
n®¥ |
n®¥ |
Зауваження. Ця умова є необхідною, але недостатньою ознакою збіжності, тобто з прямування загального члена до нуля не обов’язково випливає збіжність ряду.
|
4.1.4. Залишок ряду |
¥ |
¥ |
Ряд åun+k |
називається n-м залишком ряду åun . |
k =1 |
n=1 |
|
¥ |
Позначимо суму залишку збіжного ряду черезrn = åun+k . Тоді з
k =1
теореми 1 випливає, що у випадку, коли ряд (4.1) збігається, то збігається і будь-який його залишок, і навпаки – зі збіжності будь-якого залишку ряду випливає збіжність ряду в цілому.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
111