2.4. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНІЦА
Теорема. Нехай функція f(x) неперервна на відрізку[a, b] і F(x) - будь-яка її первісна на [a, b]. Тоді визначений інтеграл дорівнює приросту первісної F(x) на цьому відрізку
b
ò f (x)dx =F (x) ba
a
= F (b) - F (a) |
(2.16) |
x
w Функція Ц(x) = ò f (t)dt є первісною для f(x). Тоді будь-яка
a
інша первісна має виглядF(x) = Ф(x) + С, де С = const. Обчислимо приріст первісної F(x) на відрізку [a, b]:
b |
a |
b |
F (b) - F (a) = Ц(b) - Ц(a) = ò f (x)dx - ò f (x)dx = ò f (x)dx. £ |
||
a |
a |
a |
2.5. ЗАМІНА ЗМІННОЇ У ВИЗНАЧЕНОМУ ІНТЕГРАЛІ
Теорема. Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], а функція x = j(t) має неперервну похідну на відрізку [a, b], де a = j(a), b = j(b). Крім того, при зміні t від a до b функція j(t) монотонно змінюється від j(a) = a до j(b) = b. Тоді:
|
b |
|
ì x = j(t) |
a = j(a)ü |
b |
|
¢ |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
ò f (x)dx =í |
¢ |
|
|
ý |
= ò f [j(t)]j (t)dt (2.17) |
||||
|
a |
|
îdx = j (t)dt b = j(b )þ a |
|
|
|||||
w Нехай F(x) - первісна для f(x) на відрізку [a, b], тобто F'(x) = f(x), |
||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xÎ[a, b]. Тоді ò f (x)dx = F (b) - F (a). |
|
|
|
|||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажемо, що F[j(t)] є первісною для функції f [j(t)]j (t). |
||||||||||
|
|
¢ |
¢ |
|
¢ |
|
¢ |
|
||
|
|
{F[j(t)]} |
= F [j(t)]j (t) = f [j(t)]j (t). |
|
||||||
Обчислимо інтеграл у правій частині рівності (2.17): |
||||||||||
b |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò f [j(t)]j |
|
(t)] |
b |
= F[j(b )] - F[j(a)] = F (b) - F (a). |
||||||
(t)dt = F[j |
a |
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, інтеграли в лівій і правій частинах рівності(2.17) |
||||||||||
рівні. £ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 2.1 |
|
|
|
x = a sin=t |
=x |
a; t |
р / 2ü |
|||
|
|
a |
|
|
|
ì |
||||
|
► ò a2 - x2 dx |
|||||||||
|
í |
|
= x |
= |
ý |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
îdx = a cos=tdt |
0; t |
0 þ |
||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
32