Приклад 3.4. Знайти частинний розв’язок рівнянняy¢ = - y , що x
задовольняє початкову умову: y(2)= 3.
► Як було показано у прикладі3.3, функція y = C / x є загальним розв’язком заданого рівняння. Щоб знайти частинний розв’язок, що задовольняє задану початкову умову, треба знайти відповідне значення довільного сталого С. За умовою при x = 2 функція y = 3. Підставивши ці значення у формулу загального розв’язку, отримаємо рівняння 3 = C / 2 , звідки C = 6 . Звідси y = 6 / x є частинним розв’язком, який задовольняє задану початкову умову. <
3.1.4. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Диференціальне рівняння першого порядку, розв’язане відносно
похідної, має вигляд: |
|
y¢ = f (x, y). |
(3.7) |
Якщо права частина(3.7) може бути подана у вигляді добутку двох співмножників, один з яких не містить змінноїy, а другий не містить змінної х, тобто якщо f(x, y) = f (x) ×j( y) , то рівняння набуде такого вигляду:
y¢ = f (x) ×j( y). |
(3.8) |
Рівняння (3.8) є рівнянням з відокремлюваними змінними. Оскільки
похідна y¢ = dy , то маємо: dx
dy = f (x) ×j( y). dx
Обидві частини останнього рівняння помножимо на dx і поділимо на j( y) . У результаті дістанемо рівняння з відокремленими змінними:
|
|
|
dy |
= j(x)dx. |
(3.9) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
j( y) |
|
|||
Інтегруючи рівність (3.9), маємо: |
|
|||||
ò |
|
dy |
= òj(x)dx + C. |
(3.10) |
||
|
|
|||||
|
j( y) |
|
||||
Співвідношення (3.10) є загальним інтегралом рівняння (3.8).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
66
Приклад 3.5. Розв’язати рівняння з відокремлюваними змінними y¢ = tgx( y +1).
► Подамо похідну у вигляді відношення диференціалів і помножимо обидві частини рівняння на dx:
dy = tgx( y +1)dx.
Тепер поділимо обидві частини рівності на множник (у + 1):
dy |
|
= tgxdx. |
y + |
|
|
1 |
||
Інтегруючи обидві частини рівності, дістанемо загальний інтеграл:
ò |
|
dy |
|
|
|
= òtgxdx + C; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln |
|
y +1 |
|
= -ln |
|
cos x |
|
+ C; |
ln |
|
( y +1) cos x |
|
|
= C. < |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Приклад 3.6. Знайти частинний розв’язок рівняння |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2ex tgydx + (3 - ex )sec2 |
ydy = 0, |
||||||||||||||||||||||||||
що задовольняє початкову умову y(0 )= |
р |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
на добутокtgy(3 - e x ). |
||||||||
► Поділимо обидві |
частини рівняння |
||||||||||||||||||||||||||||||
У результаті дістанемо рівняння з відокремленими змінними: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2ex |
|
dx + |
sec2 y |
dy = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 - ex |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgy |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Проінтегрувавши останнє рівняння, знаходимо: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
- 2 ln | 3 - ex | +ln | tgy | = ln C Þ |
|
tgy |
|
= C Þ tgy = C(3 - ex )2 . |
|||||||||||||||||||||||||||
(3 - ex )2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Підставимо в отриманий загальний інтеграл початкові дані |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
tg |
р |
= C(3 - e0 )2 ; 1 = 4C; C = |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отже, tgy = (3 - ex ) / 4 Þ y = arctg((3 - ex ) / 4) – шуканий розв’я- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
зок. < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.1.5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Функція f (х, у) називається однорідною |
|
|
|
функцією нульового |
|||||||||||||||||||||||||||
виміру, якщо при множенні змінних х і |
|
у на довільний параметр t |
|||||||||||||||||||||||||||||
значення функції не змінюється, тобто f (tx, ty) = f (x, y).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
67
Наприклад, функція |
f (х, у )= |
|
2ху |
|
є однорідною функцією |
||||||||||
х 2 + 3 у 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нульового виміру, оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2txty |
|
|
2t 2 xy |
|
|
|
|
2xy |
||||||
f (tх,tу)= |
|
= |
|
= |
|
|
|
= f (x, у .) |
|||||||
(tx )2 + 3(ty )2 |
t 2 x2 + 3t 2 y2 |
x2 + 3y 2 |
|||||||||||||
Однорідна функція нульового виміру завжди може бути подана у |
|||||||||||||||
вигляді f (x, y)= j(y / x). |
Дійсно, нехай |
f (х, у) є однорідна функція |
|||||||||||||
нульового виміру. Це означає, що змінні х |
і у можна помножити на |
||||||||||||||
довільний параметр t, |
і значення заданої функції в цьому випадку не |
||||||||||||||
зміниться. Нехай t =1/ x. Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f (х, у) = f (tх, tу)= |
æ |
у ö |
|
æ у ö |
||||||||||
|
f ç1, |
|
÷ |
= jç |
|
÷. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
х ø |
|
è х ø |
|||||
Диференціальне |
рівняння у¢ = |
f (х, |
у) |
|
називається однорідним, |
||||||||||
якщо функція f (х, у) є однорідною функцією нульового виміру. Таким чином, однорідне диференціальне рівняння можна подати у вигляді
æ y ö y' = jç ÷.
è x ø
Однорідне рівняння (3.11) можна звести до люваними змінними підстановкою у = хz , де z(x) ференціюючи рівність у = хz, отримаємо:
dy = z + x dz . dx dx
(3.11)
рівняння з відокрем-
– нова функція. Ди-
Підставивши вирази для y і у' в рівняння (3.11), отримаємо після перетворень рівняння з відокремленими змінними
|
|
dz |
|
dx |
(3.12) |
||
|
|
|
|
= |
|
. |
|
j(z )- z |
x |
||||||
Інтегруючи, знаходимо |
|
|
|
|
|||
ò |
|
dz |
= ln | x | + C. |
(3.13) |
|||
j(z) - z |
|
||||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
68
Якщо в цьому виразі замінити z його значенням y / x, то дістанемо
інтеграл рівняння (3.11). |
|
Функція f (х, у) називається однорідною |
функцією n-го виміру, |
якщо виконується тотожність: |
|
f (tх, tу)= t n f (х, у). |
(3.14) |
Наприклад, функція f (х, у) = x3 - 3xy2 + 5 y3 |
є однорідною функці- |
єю третього виміру, оскільки |
|
f (tх, tу)= (tx)3 - 3tx × (ty)2 + 5(ty)3 = t 3 (x3 - 3xy + 5 y3 )= t 3 × f (x, y). |
|
Зауваження. Диференціальне рівняння першого порядку |
|
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 |
(3.15) |
буде однорідним, якщо коефіцієнти M (x, y) і N (x, y) при диференціалах dx і dy є однорідними функціями одного і того ж виміру.
Приклад 3.7. Розв’язати рівняння (x2 - y2 )dx + xydy = 0.
► Коефіцієнти при диференціалах dx і dy, тобто функції M (x, y) =
= x 2 - y 2 і N (x, y) = xy є однорідними функціями одного і того ж виміру (другого). Отже, дане рівняння є однорідним. Щоб розв’язати рівняння, покладемо у = х × z , де z – деяка функція змінної x. Оскільки dy = zdx + xdz, то дане рівняння набуває вигляду:
(x2 - x2 z 2 )dx + x2 z(zdx + xdz)= 0 Þ dx + xzdz = 0 Þ zdz = - dx .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Інтегруючи отримане рівняння, матимемо: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
z 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|||
|
|
= -ln | x | + |
ln | C |; z 2 = ln |
|
. |
||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||
Оскільки z = |
|
y |
, |
то отримуємо |
y 2 |
= ln |
|
C |
|
|
– загальний інтеграл |
||||||
|
|
|
|||||||||||||||
x |
x 2 |
|
x 2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
заданого однорідного рівняння. < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Приклад 3.8. Розв’язати рівняння у¢ = |
у + 2 |
|
|
. |
|||||||||||||
ху |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
х
► Права частина рівняння є однорідною функцією нульового виміру. Отже, рівняння є однорідним. Введемо підстановку у = хz(x).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
69