Підставивши u = cos x в рівняння (б), отримаємо:
cos x |
dv |
= |
1 |
; dv = |
dx |
|
; v = tgx + C. |
|
dx |
cos x |
|
cos 2 |
x |
||
Тоді y = uv = cos x(tgx + C) = C cos x + sin x – загальний розв’язок заданого рівняння.
Загальний розв’язок можна отримати, користуючись форму-
лою (3.24).
За умовою задачі маємо: P(x) = tgx, Q(x) = |
|
1 |
. Отже, |
|||||||||
cos x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = e |
- |
ò |
tgxdx é |
ò |
1 |
×eò |
tgxdx |
dx + C |
ù |
|
||
|
ê |
|
|
ú. |
|
|||||||
|
cos x |
|
|
|||||||||
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
û |
|
||
Оскільки ò tgxdx = -ln cos x , то отримаємо:
y = e |
ln cos x é |
1 |
× e |
-ln cos x |
dx + C |
ù |
= cos x |
é |
dx |
|
+ C |
ù |
|
|
êò |
|
|
ú |
êò |
|
|
|
ú |
Þ |
|||||
cos x |
|
cos |
2 |
x |
||||||||||
|
ë |
|
|
|
û |
|
ë |
|
|
û |
|
|||
Þ y = cos x(tgx + C) = C cos x + sin x. <
3.1.7. Рівняння Бернуллі
Деякі диференціальні рівняння першого порядку, які не є лінійними, можуть бути зведені до лінійних після попередніх перетворень. Прикладом може бути рівняння Бернуллі:
|
|
y' + P(x) y = Q(x) × yn . |
|
(3.25) |
При |
n =1 |
рівняння (3.25) стає рівнянням |
з |
відокремлюваними |
змінними, а при п = 0 – лінійним. Якщо п число, |
відмінне від нуля і |
|||
одиниці, |
то за |
допомогою підстановкиz = y1-n |
рівняння (3.25) зво- |
|
диться до лінійного рівняння відносно нової функціїz. Припустимо,
що n ¹0, n ¹1. Введемо нову функцію z = y1-n , |
тоді z' = (1 - n) y -n y'. |
|||||
Поділимо обидві частини рівняння (3.25) на y n , отримаємо: |
||||||
|
|
y-n y¢ + P(x) y1-n = Q(x), |
|
|||
|
z' |
|
¢ |
|
|
|
звідки |
1 - n + P(x) y = Q(x) Þ z |
+ (1 - n)P(x) y = (1 |
- n)Q(x). |
|||
|
||||||
Це лінійне рівняння, яке описане в п. 3.1.6. Зазначимо, що практично немає необхідності вводити нову змінну z.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
72
Рівняння Бернуллі можна розв’язати за допомогою підстановки
y = u(x) × v(x),
не зводячи його попередньо до лінійного.
Приклад 3.10. Розв’язати рівняння Бернуллі y' + y = y2 ln x.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
► Покладемо y = u × v , тоді y' = u'v + uv', і рівняння набуде вигляду: |
|||||||||||||||||||||||||
u'v + uv'+ |
uv |
= u 2v2 ln x Þ v(u'+ |
u |
|
) + uv' = u 2 v 2 ln x . |
(*) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Виберемо функцію u так, щоб виконувалась рівність |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u'+ |
u |
= 0. |
|
|
|
|
|
(а) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
Тоді після скорочення на u рівняння (*) набуде вигляду: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v' = uv2 ln x. |
|
|
|
|
|
(б) |
|||||||||
Знайдемо частинний розв’язок рівняння (а) u =1/ x і підставимо йо- |
|||||||||||||||||||||||||
го в рівняння (б), отримаємо рівняння v' = |
1 |
v2 ln x |
з відокремлюваними |
||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
змінними. Знаходимо його загальний розв’язок: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
dv |
|
= ln x |
dx |
; |
|
dv |
= ln xd (ln x); |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
v2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- |
1 |
= |
(ln x)2 |
|
+ |
c |
Þ v = - |
2 |
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
v |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(ln x)2 + c |
|
||||||||||||
Отже, y = uv = - |
|
|
2 |
|
|
|
|
- загальний розв’язок заданого рів- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x(ln 2 x + c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
няння. <
Питання для самоперевірки
1.Яке рівняння називається диференціальним?
2.Що називається порядком диференціального рівняння?
3.Що називається розв’язком диференціального рівняння, загальним та частинним розв’язком?
4.Сформулюйте задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку.
5.Сформулюйте теорему Коші існування та єдиності розв’язку диференціального рівняння першого порядку.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
73