2.8.2. Інтеграли від необмежених функцій

Нехай функція f(x) неперервна на інтервалі [a; b), а при x = b або не визначена, або обертається в нескінченність (рис. 2.21). Невласний інтеграл другого роду визначається таким способом:

Якщо границя, що стоїть праворуч, існує, то невласний інтеграл називається збіжним, в іншому разі він називається розбіжним.

y = f (x)

y = f (x)

Якщо функція f(x) має розрив у точці x = a, то за означенням

Якщо обидві границі в правій частині формули(2.46) існують і скінченні, то інтеграл називають збіжним, інакше – розбіжним.

Приклад 2.20

Інтеграл збігається. <

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

49

Приклад 2.21

Інтеграл збігається. < Для невласних інтегралів другого роду застосовують ознаки по-

рівняння, аналогічні ознакам порівняння для інтегралів першого роду.

Ознаки порівняння для невласних інтегралів другого роду

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

50

► Підінтегральна функція знакозмінна і має розрив приx = 1, тому для дослідження збіжності інтеграла скористаємося теоремою4.

= -lim(1 - (1 - e )2 -1) =1.

e ®0

Оскільки цей інтеграл існує, то за теоремою 3 існує і невласний

2.9. ПРИКЛАДИ ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА В ЕКОНОМІЦІ

1. Нехай V, D і Р - функції відповідно витрат, доходу та прибутку, які залежать від кількості х виробленої продукції або від часу t її виробництва, а V', D' і Р' - функції маргінальних витрат, доходу та прибутку відповідно.

Тоді зміни вказаних величин при зростанні виробництва продукції від а одиниць до b обчислюють за формулами

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

51

Приклад 2.25. Якщо функція маргінальних витрат виробництвах одиниць продукції за певний час має виглядV ¢(x) = 50 - 0,02x, то зростання витрат виробництва (у гривнях) при збільшенні випуску продукції від 100 до 120 одиниць обчислюється за формулою

2.Якщо V(t), D(t) і Р(t) - вказані вище функції, які змінюються з часом t, то Р(t) = D(t) - V(t), і загальний прибуток за часT обчислюють за формулою

(рис. 2.23). Якщо при х = 0,2 маємо у = 0,6, то це означає, що 20 % населення володіють 60 % загального доходу країни. При рівномірному (досконалому) розподілі доходів крива Лоренца вироджується у пряму - бісектрису ОА.

y

B

C

Тому відношення L площі фігури S2 між бісектрисою ОА і кривою Лоренца до площі S1 трикутника ОАС характеризує ступінь нерівномірності розподілу доходів населення. Коефіцієнт L при цьому називають

коефіцієнтом нерівномірності розподілу доходів, коефіцієнтом Лоренца або коефіцієнтом Джіні. Зрозуміло, що

L= S2 = 21ò(x - f (x))dx.

S1 0

Очевидно, що 0 £ L £ 1. Значення L = 0 відповідає досконалому розподілу доходів.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

52

Приклад 2.26. За даними дослідження розподілу доходів певної держави крива Лоренца описується рівнянняму = 0,99х2 + 0,01x. Тоді коефіцієнт Лоренца-Джіні

Часто коефіцієнтом L характеризують нерівномірний розподіл прибуткового податку, якщо вважати, що функція у є частиною загального прибуткового податку і пропорційна частиніх усього населення держави, тобто у = kx.

4.Якщо функція f(t) дорівнює прибутку за часt, а r % – номінальна облікова щорічна ставка, то реальне значення загального прибутку Р за час між t = 0 та t = T становить

T

P = ò f (t)e-rt / 100dt.

0

Приклад 2.27. Якщо компанія вкладе 7 млн. грн. у нове обладнання і щороку отримуватиме 2 млн. грн. прибутку протягом 5 років, а номінальна облікова щорічна ставка становитиме 10 %, то реальне значення прибутку

5.Зміна капіталу. Якщо I(t) - швидкість зміни інвестицій, A(t) - капітал підприємства, то I (t) = A¢(t). Знаючи швидкість зміни інвестицій,

можна знайти зміну капіталу за проміжок часу відt = t1 до t = t2 за формулою:

t 2

DA = òI (t)dt.

t1

Приклад 2.28. Знайти середнє значення витратf(x) = 3x2 + 2x + 4, якщо об’єм продукції x змінюється від 0 до 10 одиниць.

► Середнє значення функціїf(x) на відрізку [a, b] обчислюється за формулою (2.11):

тобто середнє значення витрат дорівнює 114.<

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

53