3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ І РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ

3.1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

3.1.1. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь

З формально-математичної точки зору задача розв’язування(інтегрування) диференціальних рівнянь – це задача, обернена диференціюванню. Задача диференціального числення полягає в тому, щоб за заданою функцією знайти її похідну. Найпростіша обернена задача вже зустрічається в інтегральному численні: дано функцію f (x) , знайти її

первісну. Якщо шукану первісну функцію позначити черезy, то вказану задачу можна записати у формі рівняння:

Таким чином, диференціальне рівняння (3.1) має нескінченну множину розв’язків, кожний з яких являє деяку первісну від функції f (x) .

Якщо вимагати, щоб для розв’язку y(t ) виконувалася додаткова умова

y(0)=1,

то серед всіх розв’язків знайдеться тільки один, який їй задовольняє. Дійсно, оскільки y(x)= F (x)+ C і y(0)=1, то

y(0)= F (0)+ C = 1, C = 1 - F (0),

звідки

y(x)= F (x)+ C = F (x)+ 1 - F (0).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

62

Приклад 3.1. Нехай відомо, що в початковий момент часу t = 0 на підприємстві вироблялося продукції в кількості y0 , а швидкість зростання продукції, виробленої на підприємстві, пропорційна інвестуванню u(t). Знайти, яка кількість продукції y(t) виробляється у кожен момент часу t, якщо інвестування підприємства постійне і дорівнює

3грошовим одиницям.

►Згідно з умовою задачі

dy(t) = ku(t )= 3k. dt

Оскільки первісною від постійної величини3k є лінійна функ-

ція 3kt + C, то розв’язком диференціального рівняння є функція y(t )= 3kt + C. Скориставшись іншою умовою задачі, згідно з якою

y(0)= y0,

одержимо C = y0 , звідки маємо

y(t)= 3kt + y0,

тобто випуск продукції підприємства зростає лінійно. <

3.1.2.Звичайні диференціальні рівняння. Основні означення і поняття

Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, що зв’язує незалежну змінну х, шукану функцію у = у(х) і похідні шуканої функції до деякого порядку включно.

Загальний вигляд диференціального рівняння:

F (x, y, y', y",..., y( n) ) = 0.

Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної від шуканої функції, що входить у рівняння. Приклади диференціальних рівнянь:

а) у' - у = 0;

б) у'' + y = 0;

в) y¢¢¢ + x = 0.

Рівняння а) – першого порядку, рівняння б) – другого порядку, рівняння в) – третього порядку.

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд:

F (x, y, y') = 0.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

63

Загальний вигляд диференціального рівняння другого порядку:

F (x, y, y', y'') = 0.

Розв’язком диференціального рівняння називається будь-яка функція, яка при підстановці в рівняння перетворює його в тотож-

і y'' , отримуємо тотожність - sin x + sin x = 0. Отже, функція у = sin x є розв’язком рівняння б). <

Приклад 3.3. Показати, що функція у = с , де с – довільне стале, є

х

розв’язком рівняння y' = - y . x

►y' = - c . Підставивши в рівняння значення y і y' , отримаємо

x2

3.1.3. Диференціальні рівняння першого порядку. Теорема Коші існування та єдиності розв’язку диференціального рівняння

Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

Якщо рівняння (3.4) розв’язати відносно похідної y¢, то отримаємо

Диференціальне рівняння першого порядку має нескінченну множину розв’язків, які визначаються формулою, що містить одне довільне стале.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

64

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого поряд-

ку (3.4) або (3.5) називається функція y = y(x, C), яка при будь-якому сталому значенні С задовольняє рівняння (3.4) або (3.5).

Частинним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається такий розв’язок, який одержаний із загального y = y(x, C ) при деякому певному значенні сталогоС. Наприклад, для

C = 5, також є частинним розв’язком.

На практиці частинний розв’язок даного рівняння знаходять із загального не заданням довільного сталогоС, а виходячи з тих умов, яким повинен задовольняти шуканий частинний розв’язок.

Нехай дано рівняння y¢ = f (x, y), для якого загальним розв’язком

Умова (3.6) означає, що шукана функція y дорівнює y0 при значенні незалежної змінної x = x0 .

Задача знаходження частинного розв’язку рівняння(3.5), який задовольняє задану початкову умову (3.6), називається задачею Коші.

Для диференціального рівняння першого порядку задача Коші зводиться до знаходження частинного розв’язку, який при x = x0 приймає наперед задане значення y = y0 . Умови, за яких диференціальне рівняння (3.5) має частинний розв’язок, що задовольняє дану початкову умову (3.6), можуть бути сформульовані у вигляді такої теореми.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

65