- •ВСТУП
- •1. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
- •Основні властивості невизначеного інтеграла
- •Таблиця невизначених інтегралів
- •1.2. ОСНОВНІ МЕТОДИ ІНТЕГРУВАННЯ
- •1.2.1. Безпосереднє інтегрування
- •1.2.2. Метод заміни змінної (метод підстановки)
- •1.2.3. Інтегрування частинами
- •1.4. ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ
- •1.5. ІНТЕГРУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ
- •Питання для самоперевірки
- •2. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
- •2.2. ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА
- •2.4. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНІЦА
- •2.5. ЗАМІНА ЗМІННОЇ У ВИЗНАЧЕНОМУ ІНТЕГРАЛІ
- •2.7.1. Обчислення площ плоских фігур
- •2.7.2. Обчислення довжини дуги кривої
- •Обчислення довжини дуги кривої у полярних координатах
- •2.7.3. Обчислення об’ємів тіл
- •Обчислення об’єму тіла обертання
- •2.8. НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ
- •2.8.1. Інтеграли з нескінченними межами інтегрування
- •Ознаки порівняння для невласних інтегралів першого роду
- •2.8.2. Інтеграли від необмежених функцій
- •Ознаки порівняння для невласних інтегралів другого роду
- •2.10. ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ
- •Геометричний зміст подвійного інтеграла
- •Властивості подвійного інтеграла
- •Обчислення подвійного інтеграла
- •Питання для самоперевірки
- •3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ І РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ
- •3.1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
- •3.1.1. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь
- •3.1.4. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
- •3.1.5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
- •3.1.6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
- •3.1.7. Рівняння Бернуллі
- •Питання для самоперевірки
- •3.2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ
- •3.2.3. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
- •Метод невизначених коефіцієнтів
- •Метод варіації довільних сталих
- •3.2.6. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
- •Питання для самоперевірки
- •3.3. СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
- •3.3.1. Основні поняття
- •Питання для самоперевірки
- •3.4. РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ
- •3.4.1. Основні поняття
- •3.4.2. Розв’язання різницевих рівнянь
- •Розв’язання різницевих рівнянь першого порядку
- •Розв’язання різницевого рівняння другого порядку
- •Питання для самоперевірки
- •4. РЯДИ
- •4.1. ЧИСЛОВІ РЯДИ
- •4.1.1. Збіжність і сума ряду
- •4.1.2. Найпростіші властивості збіжних рядів
- •4.1.3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4.1.4. Залишок ряду
- •4.1.5. Ряди з невід’ємними членами, критерій збіжності
- •4.2. ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ ІЗ НЕВІД’ЄМНИМИ ЧЛЕНАМИ
- •4.2.1. Інтегральна ознака Коші
- •4.2.2. Ознаки порівняння
- •4.2.3. Ознака Д’Аламбера
- •4.2.4. Радикальна ознака Коші
- •4.3. ЗНАКОПОЧЕРЕЖНІ РЯДИ
- •4.3.1. Абсолютна та умовна збіжність
- •4.3.2. Ознака Лейбніца
- •4.3.3. Властивості абсолютно збіжних рядів
- •Питання для самоперевірки
- •4.4. ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ
- •4.4.1. Область збіжності
- •4.4.2. Рівномірна збіжність функціонального ряду
- •4.4.3. Ознака Вейєрштрасса
- •4.4.4. Властивості рівномірно збіжних рядів
- •4.5. СТЕПЕНЕВІ РЯДИ
- •4.5.1. Означення степеневих рядів. Перша теорема Абеля
- •4.5.2. Радіус збіжності ряду
- •Формула Д’Аламбера
- •Формула Коші-Адамара
- •Розвинення у степеневий ряд деяких елементарних функцій
- •4.5.6. Застосування степеневих рядів
- •СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Доведемо ще одну властивість залишку збіжного ряду.
|
Теорема 5. Якщо ряд (4.1) збігається, то lim r |
= 0 |
|
|
||
|
|
|
n ®¥ n |
|
|
|
w Якщо ряд збігається, то lim S |
n |
= S, Þ lim=r |
lim(S - S |
) = |
||
|
n®¥ |
n®¥ n |
n®¥ |
n |
|
|
=S - S = 0. £
4.1.5.Ряди з невід’ємними членами, критерій збіжності
Припустимо, що усі члени ряду (4.1) невід’ємні: un ³ 0.
Теорема 6 (критерій збіжності). Ряд із невід’ємними члена-
ми збігається тоді й тільки тоді, коли його часткові суми обмежені зверху
¥ |
збігається, то lim Sn = S, але Sn+1 = Sn + un+1 ³ |
w 1. Якщо ряд åun |
|
n=1 |
n®¥ |
³ Sn , тобто послідовність часткових сум є зростаючою. Таким чином, Sn <S "n, тобто {Sn } обмежена зверху числом S.
2. Припустимо, що {Sn } обмежена зверху. Позначимо через S верхню межу {Sn }. Тоді, оскільки {Sn } зростає, то "e > 0 $N : "n > N Sn - S < e, тобто число S є границею {Sn }, з чого випливає, що ряд збігається. £
4.2. ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ ІЗ НЕВІД’ЄМНИМИ ЧЛЕНАМИ
Під час дослідження числових рядів на збіжність безпосередній пошук границі часткових сум є в більшості випадків досить важким. Замість цього зручно використовувати спеціальні ознаки збіжності рядів. Сформулюємо й доведемо деякі ознаки збіжності рядів із невід’ємними членами.
4.2.1. Інтегральна ознака Коші
Теорема 1. Якщо функція f невід’ємна й спадна при x ³1, то
¥
ряд å f (n) збігається або розбігається одночасно з невла-
n=1
+¥
сним інтегралом ò f (x)dx
1
w Оберемо натуральне число k й розглянемо значення x на відрізку k £ x £ k +1. Тоді, оскільки f спадна, маємо f (k) ³ f (x) ³ f (k +1).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
112
Проінтегруємо |
цю |
|
|
|
нерівність |
по |
відрізку |
|
|
одиничної |
|
довжини |
|||||||||||||||
[k; k +1] , отримаємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
|
k +1 |
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f (k) ò dx ³ ò f (x)dx ³ f (k +1) òdx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
звідки маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (k) ³ ò f (k)dx ³ f (k +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Додамо подібні нерівності, отримані при значеннях k від 1 до n: |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
n k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
å f (k +1) £ å ò f (x)dx £ å f (k) Þ Sn+1 - f (1) £ ò f (x)dx £ Sn |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
k =1 |
|
|
k 1 =k |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 = |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Sn = å f (k)). |
|
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо ряд å f (n) |
|
збігається і його сума дорівнює S, тоді Sn £ S, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
+¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
звідси ò f (x)dx £ S, тому |
|
ò f (x)dx збігається. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо ж припустити, що збігається ò f (x)dx, |
тоді з (4.8) маємо, що |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
+¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Sn +1 £ f (1) + ò |
f (x)dx £ f (1) + ò f (x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
Це означає, |
що послідовність часткових сум ряду å f (n) обме- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||||
жена зверху, а отже, за теоремою 6 (з попереднього пункту) ряд збі- |
|||||||||||||||||||||||||||
гається. £ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
1 |
|
||
Приклад 4.5. За інтегральною ознакою Коші дослідимо ряд å |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
► а) якщо a >1, тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 na |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+¥ |
-a |
|
|
|
x |
1-a |
|
b |
æ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
ö |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ò x |
dx = lim |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= limç |
- |
|
|
+ |
|
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
- a |
(a -1)b |
a -1 |
a |
-1 |
a -1 |
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
b®¥ 1 |
|
1 |
|
b®¥è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|||||||||||||
(оскільки |
при a >1 lim |
|
1 |
|
= 0). |
Таким |
чином, |
невласний інтеграл |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
b®¥ ba -1
збігається, а отже, збігається і ряд;
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
113
|
|
|
|
|
+¥ 1 |
|
|
|
æ |
|
b |
ö |
|
|
|
|
|
б) якщо a =1, тоді |
ò |
|
dx = lim |
ç |
|
|
÷ |
= lim ln b |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
çln x |
|
÷ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
b®¥ |
è |
|
1 |
ø |
|
b®¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
розбігається, тому розбігається і ряд; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) якщо a <1, |
тоді: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+¥ |
|
-a |
|
æ |
x1-a |
|
b ö |
|
æ b1-a |
|
|
1 |
ö |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ò |
x |
|
dx = limç |
|
|
|
÷ |
= limç |
|
|
+ |
|
÷ |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
b®¥ ç |
1 -a |
|
÷ |
b®¥ |
è1 -a 1 -a ø |
|
||||||||
1 |
|
|
|
è |
|
1ø |
|
|
|||||||||
= ¥ – інтеграл
¥
(оскільки при a <1 lim b1-a = ¥). Із розбіжності невласного інтеграла
b®¥
випливає розбіжність ряду. <
|
|
¥ |
1 |
|
|
|
|
|
Зауваження. Ряд å |
збігається при a >1 |
і |
розбігається при |
|||||
|
||||||||
|
|
n = 1 na |
|
|
|
|
||
a £1. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4.2.2. Ознаки порівняння |
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
Теорема 2 (перша ознака порівняння). Якщо для рядів з до- |
|||||||
|
датними членами |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
u1 + u2 + ... + un + ... , |
|
(4.9) |
|
|
|
|
|
|
v1 + v2 + ... + vn + ... |
|
(4.10) |
|
|
|
виконується умова un £ vn , тоді: |
|
|
|
||||
|
а) |
якщо ряд (4.10) збігається, то збігається і ряд (4.9); |
|
|||||
|
б) |
якщо ряд (4.9) розбігається, то розбігається і ряд (4.10) |
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
n |
||
w Позначимо часткові суми рядівSn = åui , |
sn |
= åvi . Із умови |
||||||
|
|
|
|
i =1 |
|
i =1 |
||
теореми Sn ≤ σn. Припустимо, що ряд (4.10) збігається. Тоді існує скін-
ченна границя його часткових сум: lim s n = s . Але Sn ≤ σn < σ, тобто
n®¥
послідовність часткових сум ряду(4.9) обмежена зверху. Таким чином, за теоремою 6 (з пункту 4.1.5) ряд (4.9) збігається.
Тепер припустимо, що ряд (4.9) |
розбігається. Тоді lim Sn = ¥, |
||
σn ≥ Sn, що означає: lim s n |
|
n®¥ |
|
= ¥, тобто ряд (4.10) також розбігається. £ |
|||
n®¥ |
|
|
|
Наслідок. Умова un |
≤ vn може |
виконуватись, починаючи |
не |
обов’язково з п = 1. Ствердження |
теореми справедливе, якщо |
ця |
|
умова виконується для усіхп, більших деякого N (див. теорему 1 з
пункту 4.1.2).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
114
|
¥ |
1 |
|
|
||
Приклад 4.6. Дослідимо на збіжність ряд å |
|
. |
||||
n × 2 |
n |
|||||
|
1 |
n =1 |
|
|
||
¥ |
|
|
|
|
||
► Порівняємо його з рядомå |
. Цей ряд |
збігається, оскільки |
||||
n |
||||||
n=1 |
2 |
|
|
|
|
|
послідовність його членів являє собою нескінченно спадаючу геометричну прогресію із знаменником q = 1/ 2, сума якої дорівнює 1/2.
При будь-якому n > 1: |
1 |
< |
|
1 |
, тому за теоремою2 пункту 4.2.2 |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
n × 2n |
|
|
2n |
|
|
|
|||
ряд збігається. < |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Теорема 3 (друга ознака порівняння). Якщо для рядів (4.9) і |
|
||||||||
|
|
|
(4.10) виконується умова |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
lim |
un |
= A, |
0 < A < ¥, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n®¥ vn |
|
|
|
|||||
|
|
|
то ряди (4.9) і (4.10) збігаються і розбігаються одночасно |
|
||||||||
w Оберемо число N таке, що для усіх n > N виконується нерів- |
||||||||||||
|
un |
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
||
ність: |
< A +1. Тоді un |
< (A + 1)vn. Якщо ряд åvn збігається, то за |
||||||||||
|
||||||||||||
|
vn |
|
|
|
|
|
n=1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
теоремою 2 пункту 4.1.2 збігається і |
ряд å( A +1)vn . Тоді за теоре- |
|||||||||||
n =1
¥
мою 2 цього пункту збігається ряд åun . Навпаки, із розбіжності ряду
n =1
¥
åun
n=1
un > vn
¥
випливає розбіжність ряду åvn .
n =1
Оберемо число А таке, що 0 < A < A, і задамо номер N, при якому
A при будь-якому n > N. Звідси un > Avn, і аналогічно можна по-
|
|
|
|
|
¥ |
¥ |
|
казати, що із збіжності åun |
випливає збіжність åvn , а із розбіжності |
||||||
¥ |
|
|
|
|
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
|
¥ |
|
||
åvn – розбіжність åun . £ |
|
||||||
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|||
|
Зауваження. Як “еталони” для порівняння використовують ряди |
||||||
¥ |
1 |
|
¥ |
1 |
|
|
|
å |
, або |
å |
, які збігаються при α > 1 і розбігаються при α ≤ 1. |
||||
|
|
||||||
n = 1 na |
n = 1a n |
|
|
||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
115