¥

Проводячи аналогічні міркування для рядуå| un |, можна довести

n =1

¥

й абсолютну збіжність ряду å~ £ um .

m =1

¥¥

Теорема 4. Якщо ряди åun i åvn абсолютно збіжні, то

n=1 n=1

ряд, складений із усіляких можливих попарних добутківumvn членів цих рядів, також абсолютно збігається, та його сума дорівнює добутку сум вихідних рядів

Зауваження. Вказані властивості виконуються тільки для абсолютно збіжних рядів. Якщо ряд збігається умовно, то перестановкою його членів можна змінити суму ряду(теорема Рімана) або отримати розбіжний ряд. Зокрема, розбіжними в цьому випадку будуть ряди, що складені з усіх додатних і всіх від’ємних членів даного умовно збіжного ряду.

Питання для самоперевірки

1.Що називається числовим рядом?

2.Яка формула називаєтьсяформулою загального члена ряду?

3.Що називається сумою ряду?

4.Коли ряд збігається?

5.Які властивості збіжних рядів називаються найпростішими?

6.Як формулюється необхідна умова збіжності ряду?

7.Що називаєтьсяn-м залишком ряду?

8.Які існують ознаки збіжності числових рядів?

9.Як формулюються ознаки порівняння?

10.Які ряди називаються знакопочережними?

11.Який ряд називається абсолютно збіжним?

12.Як формулюється ознака Лейбніца?

13.Які існують властивості абсолютно збіжних рядів?

4.4.ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

де un(x) = f (x, n), називається функціональним рядом.

Якщо задати конкретне числове значеннях, ряд (4.12) перетвориться у числовий ряд, принаймні залежно від вибору значеннях такий

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

121

ряд може збігатися або розбігатися. Практичну цінність мають тільки збіжні ряди, тому важливо визначити ті значення х, за яких функціональний ряд стає збіжним числовим рядом.

Множина значень х, під час підстановки яких у функціональний ряд (4.12) отримуємо збіжний числовий ряд, називається областю збіжності функціонального ряду.

Функція s(x), визначена в області збіжності ряду, яка для кожного значення х з області збіжності дорівнює сумі відповідного числового ряду, отриманого з (4.12) при даному значенніх, називається сумою функціонального ряду.

Приклад 4.12. Знайдемо область збіжності й суму функціонального

ряду

1 + х + х² +…+ xn +…

► При |x| ≥ 1 lim xn ¹ 0, тому відповідні числові ряди розбіга-

n®¥

ються. Якщо |x| < 1, даний ряд являє собою нескінченно спадаючу геометричну прогресію, сума якої обчислюється за формулою:

Отже, областю збіжності ряду є інтервал(–1, 1), а його сума має вказаний вигляд. <

Зауваження. Також, як і для числових рядів, можна ввести поняття n-ї часткової суми функціонального ряду:

sn = 1 + х + х² +…+ xn

і залишку ряду:

rn = s – sn.

4.4.2. Рівномірна збіжність функціонального ряду

Функціональна послідовність fn(x) називається рівномірно збіжною до f(х) на множині Х, якщо "e > 0 $N : "x Î X і "n > N

| fn (x) - f (x) |< e.

Зауваження 1. Позначатимемо звичайну збіжність функціональ-

r

ної послідовності fn (x) ® f (x), а рівномірну збіжність – fn (x) ® f (x) .

Зауваження 2. Підкреслимо ще раз принципову відмінність рівномірної збіжності від звичайної: у випадку звичайної збіжності при

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

122

При цьому може статися, що підібрати для ε спільний номер N, що забезпечує виконання цієї нерівності для будь-якого х, неможливо. У випадку ж рівномірної збіжності існує такий номерN, спільний для усіх х.

Дамо означення рівномірної збіжності функціонального ряду. Кожному ряду відповідає послідовність його часткових сум, рів-

номірна збіжність ряду визначається через рівномірну збіжність цієї послідовності.

¥

Функціональний ряд åun (x), x Î X називається рівномірно збіж-

n =1

ним на множині Х, якщо на Х рівномірно збігається послідовність його часткових сум.

4.4.3. Ознака Вейєрштрасса

n=1

Зауваження. Процедура підбору числового ряду, що відповідає вимогам теореми 1, зазвичай називається мажоруванням, а сам цей ряд – мажорантою для даного функціонального ряду.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

123

тобто функція s(x) неперервна при х = х0. £

(тобто під час виконання умов теореми ряд можна почленно інтегрувати)

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

124

¥

w За теоремою 2 функція s(x) = åun (x) неперервна на [a, b] і, як

лівій частині рівності (4.13), існує. Покажемо, що ряд å òun (t)dt рі-

n =1 x0

нює: σ (х) = å òun (t)dt . £

n=1 x0

Теорема 4. Припустимо, що функції un(x) неперервно диференційовані на відрізку [a, b], і ряд, складений із їх похідних

рівномірно на всьому відрізку [a, b], його сума s(x) = åun (x) –

n=1

неперервно диференційована функція та

¥

s¢(x) = åu¢n (x)

n=1

¥

(ряд åun (x) можна почленно диференціювати)

n=1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

125