Використовуючи початкові умови, знайдемо значення довільних сталих C1 і C2 . Оскільки y1 (0) = 0, то із (3.65) маємо 0 = C1 + C2 + 2, а з урахуванням умови y2 (0) = 2 із (3.66) маємо 2 = 2C1 + 3C2 + 3.

Із отриманої системи випливає, що C1 = -5, C2 = 3. Отже,

y1 = -5e-2x + 3ex + 2e-x і y2 = 10e-2x + 3e x - 2e-x

– розв’язок заданої системи, що задовольняє вказані початкові умови. <

Питання для самоперевірки

1.Яка система звичайних диференціальних рівнянь називається канонічною?

2.Чим відрізняється нормальна система звичайних диференціальних рівнянь від канонічної?

3.Сформулюйте задачу і теорему Коші для нормальної системи звичайних диференціальних рівнянь.

4.Як розв’язується нормальна система звичайних диференціальних рівнянь?

5.Запишіть систему лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

6.Викладіть метод розв’язання системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

3.4.РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ

3.4.1. Основні поняття

Різницеві рівняння відіграють велику роль в економічній теорії. Велику кількість економічних законів доводять за допомогою цих рівнянь.

Нехай час t є незалежною змінною, а залежна змінна визначається для часу t, t -1, t - 2 і т.д.

Позначимо через yt значення функції в момент часу t, через yt -1 –

значення функції в момент, зсунутий назад на одиницю (наприклад, в попередньому часі, попереднього тижня і т.д.); через yt -2 – значення функції y в момент, зсунутий на дві одиниці назад, і т.д.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

103

називається різницевим однорідним рівнянням n-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Розв’язати різницеве рівняння n-го порядку – означає знайти функцію yt , яка перетворює це рівняння у тотожність.

Розв’язок, в якому відсутня довільна стала, називається частинним розв’язком різницевого рівняння; якщо в розв’язку є довільна стала, то він називається загальним розв’язком.

Можна довести такі теореми.

Теорема 1. Якщо однорідне різницеве рівняння(3.68) має розв’язки y1 (t) і y2 (t) , то розв’язком буде також функція

yодн = C1 y1 (t) + C2 y2 (t),

де С1 та С2 – довільні сталі

Теорема 2. Якщо y(t) – частинний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння (3.67) і y(t, C1 , C2 , ..., Cn ) – загальний розв’язок однорідного рівняння(3.68), то загальним розв’язком неоднорідного рівняння (3.67) буде функція

y(t) = y(t, C1 , C2 ,...,Cn ) + y(t),

де С1, С2, …, Сn – довільні сталі

Ці теореми схожі з теоремами для лінійних диференціальних рівнянь.

Системою лінійних різницевих рівнянь першого порядку з сталими коефіцієнтами pij називається система вигляду

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

104