Нагадаємо, що загальний розв’язок неоднорідного рівняння (3.40) дорівнює сумі загального розв’язку відповідного однорідного рівняння

і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного рівняння (3.40). Якщо

yодн = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)

є загальним розв’язком рівняння(3.41), а y – який-небудь частинний розв’язок неоднорідного рівняння(3.40), то загальний розв’язок знаходиться за формулою

Метод невизначених коефіцієнтів

У попередньому параграфі було розглянуто спосіб знаходження загального розв’язку однорідного рівняння(3.41). Отже, залишається вказати спосіб знаходження якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного рівняння (3.40). Розглянемо спосіб знаходження частинного розв’язку методом невизначених коефіцієнтів. Цим методом можна скористатися у декількох випадках.

Теорема 1. Якщо права частина рівняння(3.40) подана у вигляді:

f (x) = eax Pn (x),

де Pn (x) – многочлен n-го степеня.

Тоді можливі такі окремі випадки:

а) число a не є коренем характеристичного рівняння

k 2 + pk + q = 0,

тоді частинний розв’язок рівняння (3.40) має вигляд

y = eax Qn (x),

де Qn(x) – многочлен n-го степеня з невизначеними коефіцієнтами;

б) число a – корінь характеристичного рівняння

k 2 + pk + q = 0,

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

85

тоді частинний розв’язок рівняння (3.40) має вигляд

y = xr eaxQn (x),

де r = 1 або 2, зважаючи на те, чи співпадає a з одним з коренів характеристичного рівняння чи з кожним з двох рівних коренів характеристичного рівняння

Приклад 3.18. Знайти загальний розв’язок рівняння

y¢¢ - 7 y¢ +10 y = 4e3 x .

► Знаходимо загальний розв’язок однорідного рівняння

y¢¢ - 7 y¢ +10 y = 0.

Характеристичне рівняння

k 2 - 7 k + 10 = 0

має корені k1 = 2 і k2 = 5.

Загальний розв’язок однорідного рівняння такий:

розв’язок y шукатимемо у вигляді y = Ae3x , де А – невизначений коефіцієнт, який потрібно знайти. Диференціюємо цю рівність, знаходимо:

y' = 3Ae3 x , y" = 9 Ae3 x .

Підставимо y , y' і y" в ліву частину даного рівняння і знайдемо значення коефіцієнта А: 9Ae3 x - 21Ae3 x +10Ae3 x = 4e3 x ; - 2 A = 4; A = -2.

Отже, частинний розв’язок

y = Ae3 x = -2e3 x ,

а загальний розв’язок

y = c1e2 x + c2 e5 x - 2e3 x . <

Приклад 3.19. Знайти загальний розв’язок рівняння

y'' - y' - 6 y = 12x2 - 2x +1.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

86

► Знайдемо загальний розв’язок рівняння y'' - y' - 6 y = 0. Оскільки характеристичне рівняння k 2 - k - 6 = 0 має корені k1 = -2 і k2 = 3, то

Число нуль не є коренем характеристичного рівняння. Тому частин-

ний розв’язок y заданого рівняння слід шукати у вигляді многочлена

другого степеня y = Ax 2 + Bx + C. Диференціюючи цю рівність, зна-

ходимо y' і y" : y' = 2Ax + B, y" = 2A.

Підставимо y , y' і y" в ліву частину заданого рівняння, отримаємо рівність:

2A - 2 Ax - B - 6Ax2 - 6Bx - 6C= 12x2 - 2x +1 Þ

Þ -6Ax2 + (-2A - 6B)x + (2A - B - 6C)= 12x2 - 2x +1.

Знайдемо коефіцієнти А, В і С так, щоб остання рівність стала тотожністю. Для цього прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях змінної x . У результаті отримаємо систему трьох рівнянь із трьома невідомими А, В і С. Розв’язуємо систему

Приклад 3.20. Знайти загальний розв’язок рівняння y''-2y' + y = xex.

► Характеристичне рівняння k 2 - 2k + 1 = 0 однорідного рівняння має кратний корінь k1 = k2 = 1. Оскільки f (x) = xe x і a = 1 співпадає з двома корнями характеристичного рівняння, а Рn (х) – многочлен першого степеня, то частинним розв’язком заданого рівняння є функція

y = x 2 e x ( Ax + B) = e x ( Ax3 + Bx 2 ).

Знайдемо y' і y'':

y' = ex ( Ax3 + Bx2 ) + ex (3Ax2 + 2Bx) = ex ( Ax3 + Bx2 + 3Ax2 + 2Bx); y" = ex ( Ax3 + Bx2 + 3Ax2 + 2Bx) + ex (3Ax2 + 2Bx + 6 Ax + 2B) =

= ex ( Ax3 + (B + 6 A)x2 + (4B + 6 A)x + 2B).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

87

Підставляючи ці значення в дане неоднорідне диференціальне рівняння, отримаємо

ex ( Ax3 + (B + 6A)x2 + (4B + 6 A)x + 2B) -

-2ex ( Ax3 + Bx2 + 3Ax2 + 2Bx) + ex ( Ax3 + Bx2 )= xex Þ Þ Ax3 + Bx2 + 6 Ax2 + 4Bx + 6Ax + 2B -

-2Ax3 - 2Bx2 - 6 Ax2 - 4Bx + Ax3 + Bx2 = x.

Оскільки загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння є функцією yодн = (c1 + c2 x)ex , загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння є функцією

y = (c1 + c2 x)ex + 1 x3ex . <

6

Приклад 3.21. Знайти частинний розв’язок рівнянняy¢¢ - y¢ - - 2 y = 9e2 x , що задовольняє початковим умовам y(0) = 2, y'(0) =13.

► Знаходимо загальний розв’язок однорідного рівняння y¢¢ - y¢ -

ристичного рівняння, то частинний розв’язок y = Axe2 x. Диференціюючи два рази, дістанемо:

y' = Ae2 x + 2Axe2 x , y" = 2Ae2 x + 2Ae2 x + 4 Axe2 x .

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

88

Використовуючи початкові умови, знайдемо значення довільних сталих C1 і C2 . Диференціюючи загальний розв’язок, отримаємо:

то форма частинного розв’язку визначається так:

а) якщо число a ± b i не є коренем характеристичного рівняння

k 2 + pk + q = 0,

де u(x) i v(x) – многочлени, степінь яких дорівнює більшому зі степенів многочленів P(x) і Q(x);

б) якщо число a ± b i є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок знаходимо у вигляді:

Відзначимо, що вказані форми частинних розв’язків (3.44) і (3.45) зберігаються і в тому випадку, коли в правій частині рівняння(3.40) один із многочленів P(x) або Q(x) тотожно дорівнює нулю, тобто коли

права частина має вигляд P(x)eax cos bx або Q(x)eax sin bx.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

89

Розглянемо далі важливий частинний випадок. Нехай права частина лінійного рівняння другого порядку має вигляд

де М і N – сталі числа:

а) якщо b i не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок слід шукати у вигляді:

Визначаємо структуру частинного розв’язку: y = Acos x + B sin x.

Двічі диференціюючи останню рівність, одержимо y' i y":

y' = -Asin x + B cos x, y " = -Acos x - B sin x.

Підставимо y , y' і y" в ліву частину заданого рівняння і визначимо коефіцієнти A і В:

- Acos x - Bsin x +6Asin x -6Bcos x +5Acos x +5Bsin x = 8cos x +38sin x,

(4 A - 6B) cos x + (6A + 4B) sin x = 8cos x + 38sin x.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових функціях, одержимо:

Частинний розв’язок y = 5cos x + 2 sin x, а загальний розв’язок: y = C1e5 x + C2ex + 5cos x + 2sin x. <

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

90

Приклад 3.23. Розв’язати рівняння y" + 4 y = 4 cos 2x -12sin 2x.

► Знаходимо загальний розв’язок y¢¢ + 4 y = 0. Характеристичне рівняння k 2 + 4 = 0 має корені k1, 2 = ±2i, тому

yодн = C1 cos 2x + C2 sin 2x.

Визначимо структуру частинного розв’язку y. Оскільки в правій частині a = 0 і b = 2, і числа ± 2i є коренями характеристичного рівняння, то

y = x( Acos 2x + B sin 2x).

Диференціюючи двічі цю рівність, знаходимо y¢¢: y" = (4B - 4Ax) cos 2x + (-4 A - 4Bx) sin 2x.

Підставивши y і y" в ліву частину заданого рівняння, дістанемо:

4B cos 2x - 4Asin 2x = 4 cos 2x -12sin 2x,

звідки А = 3 і В = 1.

Таким чином, частинний розв’язок y = x(3cos 2x + sin 2x), а шуканий загальний розв’язок y = C1 cos2x + C2 sin 2x + x(3cos2x + sin 2x). <

Теорема 3. Якщо права частина лінійного неоднорідного диференціального рівняння подана у вигляді суми двох функцій:

► У даному випадку f2 (x)=10x + 3. Раніше в прикладі (3.17) вже було знайдено загальний розв’язок неоднорідного рівняння

y" - 7 y' +10 y = 4e3 x .

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

91