Диференціюючи, отримаємо у¢ = z + xz¢. Тоді задане рівняння набуде вигляду:
z + xz¢ = |
xz + 2 x2 z |
; z + xz¢ = z + 2 |
|
; xz¢ = 2 |
|
; |
|
|
dz |
|
= |
dx |
. |
||||||||||||||||||||
z |
z |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 z |
x |
||||||||||||||||||||||||||||
Інтегруючи це рівняння з відокремленими змінними, отримаємо: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= ln |
|
x |
|
+ ln |
|
C |
|
; |
|
= ln |
|
Cx |
|
; z = ln 2 |
|
Cx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Підставляючи z = y / x, знаходимо загальний розв’язок |
заданого |
||||||||||||||||||||||||||||||||
рівняння y = x ln 2 Cx . <
3.1.6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальне рівняння першого порядку називається лінійним, якщо воно містить шукану функцію у та її похідну у′ в першому степені і не містить добутку уу′. Загальний вигляд такого рівняння:
dy |
+ P(x) y = Q(x). |
(3.16) |
|
||
dx |
|
|
Замінимо шукану функцію у добутком двох інших функцій, тобто зробимо підстановку:
y = u(x) × v(x). |
(3.17) |
Диференціюючи (3.17), отримаємо:
dy |
= v |
du |
+ u |
dv |
. |
(3.18) |
dx |
dx |
|
||||
|
|
dx |
|
|||
Підставимо (3.17) і (3.18) в (3.16), дістанемо:
v |
du |
+ u |
dv |
+ P(x) ×u × v = Q(x) Þ |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
||||
|
|
édu |
|
|
ù |
|
dv |
|
|
||
Þ vê |
|
|
+ P(x) ×u |
ú |
+ u |
|
= Q(x). |
(3.19) |
|||
|
|
dx |
|||||||||
|
|
ëdx |
|
|
û |
|
|
|
|||
Оскільки функція у(х) подана у вигляді добутку двох інших невідомих функцій, то одну із них можна вибрати довільно. Виберемо функцію u(х) так, щоб вираз у квадратних дужках дорівнював нулю.
Для цього треба знайти хоча б один частинний розв’язок рівняння з відокремлюваними змінними:
du |
+ P(x) × u = 0. |
(3.20) |
|
||
dx |
|
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
70
При такому виборі функції u рівняння (3.19) набуде вигляду:
|
|
|
u × |
dv |
= Q(x). |
(3.21) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
Розв’язуємо рівняння (3.20) і знаходимо функцію u(х). |
|
||||||
|
du |
= -P(x) × u; |
du |
= -P(x)dx; ln u = -ò P(x)dx. |
|
||
|
dx |
|
|
||||
|
|
u |
|
||||
Звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = e-ò P( x)dx . |
(3.22) |
||
При розв’язанні (3.20) знаходимо той частинний розв’язок, який відповідає значенню довільного сталого С = 0.
Підставимо (3.22) в (3.21), отримаємо:
e |
-ò P( x)dx |
× |
dv |
= Q(x); |
dv = Q(x)e |
ò P( x)dx |
dx ; v = òQ(x)e |
ò |
P( x)dx |
dx + C. (3.23) |
|||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Підставимо (3.22) і (3.23) в (3.17), отримаємо загальний розв’язок |
||||||||||||||||||||||||
рівняння (3.16): |
|
|
|
|
P( x)dx [ |
Q(x)eò P( x)dx dx + C]. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = e-ò |
|
(3.24) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 3.9. Розв’язати лінійне рівняння y¢ + y tg x = |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
► Виконаємо підстановку y = u × v , де u і n – деякі функції аргу- |
||||||||||||||||||||||||
менту х. Якщо y = uv , то y |
¢ |
|
|
¢ |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= u v + uv , і дане рівняння набуде вигляду |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
¢ |
+ uvtgx =1/ cos x Þ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u v + uv |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Þ v(u¢ + utgx) + uv¢ = |
1 |
. |
|
|
(*) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
Виберемо функцію u так, щоб виконувалась рівність |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u¢ + utgx = 0. |
|
|
|
|
(а) |
|||||||
|
При такому виборі функції u рівняння (*) матиме вигляд |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uv¢ = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
(б) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
||||
|
Знаходимо той частинний розв’язок рівняння ),а який відповідає |
||||||||||||||||||||||||
значенню довільного сталого C = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
du |
= -utgx; |
du |
= -tgxdx; |
ln u = ln cos x; u = cos x. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
71