Зауваження 1. Якщо область D не є правильною ні в напрямкуОx, ні в напрямку Оy, то її розбивають на кілька правильних областей D1, D2, ¼, Dn, обчислюють подвійні інтеграли по кожній з цих областей, а потім сумують результати.
Зауваження 2. Вираз ds = dxdy називається елементом площі в прямокутних координатах.
Одержимо вираз для площі плоскої областіD, зображеної на рис. 2.26:
|
b |
y2 ( x) |
b |
b |
S = òòdxdy = òdx |
òdy = ò[y2 (x) - y1 (x)]dx = ò[j2 (x )- j1(x )]dx. |
|||
D |
a |
y1 ( x) |
a |
a |
Отримана формула співпадає з формулою (2.23).
Зауваження 3. Якщо D – прямокутник із сторонами, паралельними координатним осям, обмежений прямими x = a, x = b, y = c, y = d, то
òò f (x, y dxdy) |
b |
|
d |
d |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= òdxò f (x, y dy) |
= òdyò f (x, y dx) . |
|
|
|
|
|||||||||
D |
a |
|
c |
c |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 2.31. Обчислити òò xy2 dxdy, |
де область D обмежена пря- |
|||||||||||||
мими: x = 0, x = 2, y = 0, y = 1. |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
||
|
2 |
1 |
2 |
1 |
y2 dy = |
x |
2 |
|
|
y |
3 |
|
||
► òò xy 2 dxdy = òdxò xy2 dy = ò xdxò |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||
D |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
0 |
|
|
0 |
||||
=(2 - 0)æç 1 - 0 ö÷ = 2 . <
è3 ø 3
Питання для самоперевірки
1.Сформулюйте означення визначеного інтеграла, його геометричний та економічний зміст.
2.Перелічіть властивості визначеного інтеграла.
3.Чому дорівнює похідна інтеграла зі змінною верхньою межею?
4.Запишіть формулу Ньютона-Лейбніца.
5.Запишіть формулу заміни змінної для визначеного інтеграла.
6.Запишіть формулу інтегрування частинами для визначеного інтеграла.
7.За якими формулами обчислюється площа плоскої фігури?
8.За якою формулою обчислюється об’єм тіла, утвореного обертанням плоскої фігури навколо осі Ox (Oy)?
9.За якими формулами обчислюється довжина дуги плоскої кривої?
10.Які інтеграли називаються невласними?
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
60
11.Сформулюйте ознаки порівняння для невласних інтегралів.
12.Наведіть приклади застосування визначеного інтеграла в економіці.
13.Сформулюйте означення подвійного інтеграла, його геометричний зміст.
14.Перелічіть властивості подвійного інтеграла.
15.Яка область називається правильною в напрямку осі Oy (Ox)?
16.За якими формулами зв’язані подвійний і повторні інтеграли?
17.Як визначаються межі повторного інтеграла та як він обчислюється?
18.Як обчислюється площа плоскої фігури за допомогою подвійного інтеграла?
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
61