46.Расчет пластин. Основные уравнения и гипотезы. Вывод основных уравнений теории тонких пластин в декартовой системе координат.

Пластина – это тело ограниченное 2-мя параллельными плоскостями ,расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами.

h=const-толщина пластины.

Область применимости: 1.Если отношение толщины пластины к наименьшему размеру <0,1; 2.Прогибы малы по сравнению с толщиной(1/5h).

Система координат

Плоскость z=0,делящая пластину пополам, называется серединной плоскостью. Отрезок нормалиmn-явл. Нормальным элементом. В общем случае на пластину может действовать:1. система поверхностных нагрузокz=±h/2;2. система объемных и контурных сил(растяжение/сжатие, сгиб и изгиб пластины).

Для упращения уравнений используется гипотезы Кирхгофа: 1. кинематическая гипотеза:нормальный элемент mnв процессе деформирования: а). не изменяет своей длине. б). остается прямым и нормальным к серединной поверхности. 2. Статическая гипотиза: нормальные напряжениямалы по сравнению с основными напряжениями.

Вывод уравнений теории тонкой пластины: из гипотезы 1 а) следует ;

Перемещение Wявляется одной неизвестной функцией в теории изгиба пластины и называется прогибом пластины. Из гипотезы 1.б) следует

интегрируя эти соотношения по Z, с учетом чтоWне зависит отZполучаем:

;;,-произвольные функции представляют перемещение точек серединной поверхности. Подставим эти соотношения в уравнения для деформаций:

;;; (*)

Закон Гука в соответствии с гипотезей 2 записывается:

;;(**)

Подставим выражение (*) в выражение (**):

;;

В теории пластин вместо напряжений вводят погонные усилия и моменты:

;;;;;.

,,.

;;.

,,;,,.

-кривизна поверхности,-кручение поверхности,-изгибающий момент,-крутящий момент

В-жесткость пластины при растяжении /сжатии.D- цилиндрическая жесткость.

,,.

Таким образом гипотеза Кирхгофа позволяет значительно упростить задачу. При расчете пластин выделяют два типа задач:1. растяжение сжатие/пластин;2. Изгиб пластины

47.Изгиб пластин. Дифференциальное уравнение упругой поверхности пластины. Методы решения дифференциального уравнения пластины.

Силы в плоскости пластины равны нулю.

Горизонтальное перемещение точек не принадлежащей срединной поверхности:

Закон изменения напряжения по толщине пластины является линейным

Используя граничные условия на верхней и нижней поверхности пластины при

Таким образом, закон изменения касательных квадратичный по толщине пластины

Дифференциальное уравнение упругой поверхности пластины.

Для того, чтобы получить дифференциальное уравнение упругой поверхности пластины используем граничные условия:

Окончательно получаем дифференциальное уравнение упругой поверхности пластины

48.Геометрия оболочек вращения. Гипотезы кирхгофа-лява и геометрические соотношения. Основные соотношения общей теории оболочек.

49. Уравнения безмоментной теории оболочек(бто). Уранения осесимметиричной задачи. Сферическая и цилиндрическая оболочки при действии внутреннего давления.

По теории считают, что изгибающие моменты равно 0 => напряжения равномерно распределены по толщине. Эта теория применима тогда, когда оболочка не имеет резких переходов и закреплений и не нагружена сосредоточенными силами и моментами. При резких изменениях формы и в местах крепления возникает повышенное напряжение обусловленное изгибным эффектом, для решения таких задач используется моментная теория оболочек. Использование моментной теории оболочек показало, что влияние этих факторов распространяется только на участки близкие к особым областям.

Поэтому на достаточном удалении от особых областей напряжения могут быть определены по БТО, таким образом БТО есть приближенная теория расчета без учета изгибающих и скручивающих моментов. Основные соотношения: σ_θ–меридиональное напряжение, σ_φ–кольцевое напряжение, τ_θφ–напряжение сдвига. В БТО эти напряжения считаются равномерно распределенными по толщине оболочки. В теории тонких оболочек удобнее оперировать не напряжениями, а внутренними усилиями и моментами, действующими на единицу длины средней поверхности. Т₁= σ_θ*h, Т₂= σ_{φ *}h, Т₁₂= τ_{θφ *}h.

Дифференциальные уравнения равновесия.

-основные уравнения БТО - уравнение равновесия имеет следующий вид: ;;

-физические уравнения – уравнения связи

;;

-геометрические уравнения

;;

В БТО углы поворота нормали равны 0.

Уравнения осесимметричной задачи. Условия: ,. Вместо 3 уравнений равновесия, получаем 2:;. Вместо 3 уравнений связи получаем 2:;..

Сферическая оболочка при действии внутреннего давления R₁=R₂=R,T₁=T₂=T, , , ,, ,

Цилиндрическая оболочка при действии внутреннего давления

,,,

,,,, Таким образом вместе стыка цилиндра и сферы имеем увеличение радиуса цилиндра от действия сил давления по БТО.,,Известно что тонкостенные оболочечные конструкции выдерживают усилия Т₁и Т₂плохо работают на изгиб из-за малой толщины.

50.ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК. УРАВНЕНИЯ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ. КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ.

Углы и направления (для справки): Θ – меридиональное; φ – кольцевое; Θφ - сдвиг

Основные уравнения моментной теории оболочек:Рассматриваем срединный слой оболочки:

Закон Гука в условиях ПНС: ;;

Меридиональная погонная сила:

Кольцевая погонная сила:; Погонная сдвигающая сила:

h – толщина оболочки, - деформация срединной поверхности в плоскости меридиана,- деформация срединной поверхности в плоскости параллели,- деформация сдвига,G– модуль упругости второго рода.

Погонный изгибающий момент в меридиональной плоскости:

Погонный окружной момент:

Погонный крутящий момент:

где ,,,

Уравнения равновесия:

В проекции на касательную к меридиану:

Для касательной к параллели:

В проекции на нормаль:

Q – перерезывающие силы, р –составляющие внешней нагрузки, отнесённые к площади элемента серединной поверхности.

Осесимметричная деформация:

V – перемещение, q – нагрузка, γ – деформации сдвига.

Краевой эффект: последовательность расчёта осесимметрично нагруженной оболочки вращения по моментной теории с разделением напряжённого состояния на безмоментное и краевой эффект.

Сначала по безмоментной теории определяются силы и перемещенияu,w по заданным внешним нагрузкам и граничным условиям для величины илиu. (В выражение для перемещений может входить константа интегрирования, соответствующая перемещению оболочки как твёрдого тела).

Затем, решая однородные уравнения краевого эффекта для каждого торца, находят общие выражения для величин через соответствующие константы интегрирования (по две константы на каждом торце). Наконец, составляют ГУ для каждого торца оболочки. Если заданы силовые граничные условия, т.е. величины, то сразу определяются константы интегрирования уравнений краевого эффекта. Если заданы геом. условия, т.е. величины, то по значению перемещенийuиwбезмоментного решения определяют величины(перемещение оболочки как твёрдого тела в них не войдёт) и составляют суммарные выражения дляот безмоментного решения и краевого эффекта. Константы интегрирования, входящие в эти выражения, определяют из заданных геометрических начальных условий.