§ 7.2. Вплив зміни характеру наукового пізнання на розвиток математики

Зв’язки математики¹ із завданнями практичного життя в XVI— XVII ст. відбувалися насамперед через природознавство. Математик того часу був найчастіше ще й астрономом, або ж механіком, фізи­ком, інженером. Але зберігалася поступальність внутрішньої логіки розвитку математичних знань. Серед визначних математиків слід згадати Франсуа Вієта (1540—-1603), який в праці “Видова логістика” зробив вирішальний крок, запровадивши символіку в усі алгебраїчні докази застосуванням літерних позначень для відомих величин, а знаки і застосовувалися в сучасному значенні. Цей суто технічний прийом значно прискорив обчислення. Зокрема, Ф. Вієт поліпшив результати Архімеда і знайшов число я з дев’ятгю десят­ковими знаками. А незабаром після того обчислив я з 35 десятковими, знаками Лудольф ван Цейлен.

1593 р. математик Адрієн ван Ромен зробив прилюдний заклик розв’язати рівняння сорок п’ятого степеня:, що було здійснено Ф. Вієтом. На той час це було головним досягненням у вдоскона­ленні теорії рівнянь. Завдяки його праці, як і праці Дж. Кардано, а також Н. ТарталЬЇ можна було користуватися алгебраїчними методами для розв’язання будь-якої задачі.

Величезним практичним кроком уперед було введення 1585 р. нідерландським математиком, фізиком і інженером Сімоном Стеві- ном (1548—1620) десяткових дробів, що було складовою частиною проекту уніфікації системи мір на десятковій основі. Це суттєве вдосконалення стало можливим завдяки тому, що в Західній Європі була нарешті прийнята індусько-арабська числова система. Ще одним значним удосконаленням обчислювальної техніки був винахід у 1614 р. логарифмів Джоном Непером (1550—1617). Скорочення обчислень з великими множниками сприяло значному полегшенню праці астрономів і фізиків-практиків.

Наприкінці XVI ст. математика складалася з арифметики, алгеб­ри, геометрії та тригонометрії і була переважно математикою сталих величин. У XVII ст. математичні дослідження розширюються, вини­кає кілька нових напрямків: аналітична геометрія, геометрія проек­тування, теорія ймовірностей, а головний напрямок — обчислення нескінченно малих, який містив нові дисципліни — теорію нескін­ченних рядів, інтегрування звичайних диференціальних рівнянь тощо.

Математика XVII ст. розвивалась за рахунок внутрішніх резервів успішно в тих галузях, які обіцяли дати багато плідного в науках про природу. Щодо цього слід згадати про роль античної спадщини.

“Начала” Евкліда неодноразово видавалися різними мовами. З’явилися і канонічні видання праць Архімеда і Аполлонія. У працях древніх греків математики Нового часу знайшли багато ідей, які стали вихідним пунктом їхньої подальшої творчості.

Б історії математики XVI—XVII ст. почесне місце займає Г. Галі- лей. Уже на початку своєї наукової діяльності Г. Галілей глибоко вивчив твори Архімеда, а коли був професором університетів Пізи і Падуї, сприяв поширенню методів цього великого грецького матема­тика. Г. Галілей усіляко пропагував застосування математичних мето­дів у вивчені явищ природи і успішно ними скористався. Досягнення Г. Галілея стали можливими завдяки тому, що він досконало володів новою математикою. Водночас він і сам шукав нові математичні методи, необхідні для розвитку своїх фізичних теорій. Діяльність Г. Галілея в цьому напрямку, яка лише частково відображена в його завершених і надрукованих творах, мала великий вплив на послідов­ників великого вченого, до яких можна віднести всіх видатних мате­матиків XVII ст.

Суттєвий вплив на розвиток математичних знань мали праці іта­лійського математика Бонавентури Кавальєрі (1598—1647). З 1629 р. за рекомендацією Г. Галілея він займав кафедру математики Болон­ського університету. В праці “Геометрія” (1635) Б. Кавальєрі розвинув новий метод визначення площ та об’ємів, так званий метод непо­дільних. То був один із перших кроків у формуванні числення нескін­ченно малих.

Поява книги Б. Кавальєрі спонукала багатьох математиків різних країн зайнятися задачами, в яких застосовувалися нескінченно малі. До головних питань почали підходити більш абстрактно. Поряд із старими проблемами визначення об'ємів та центра тяжіння в мате­матиці все більше на перший план виступала задача про дотичні, яка полягала в тому, щоб знайти метод проведення дотичної до зада­ної кривої в заданій точці. У цій задачі виявилися два напрямки: алгебраїчний та геометричний. Практично всі автори-математики 30-х — 60-х років XVII ст. обмежувалися питаннями про алгебраїчні криві. Б. Кавальєрі дав перше систематичне викладення результатів, досягнутих у галузі математичного аналізу.

Могутній імпульс розвитку аналізу дала “Геометрія” Р. Декарта (1637), яка включала до алгебри всю галузь класичної геометрії. Ця книга вперше була видана як додаток до “Міркувань про метод”. Р. Декарт видав “Геометрію” як приклад застосування загального методу до алгебри і геометрії. Згідно із загальноприйнятою точкою зору заслуга Р, Декарта полягає в тому, що він створив так звану аналітичну геометрію, значною мірою розширив галузь застосування алгебри, а алгебраїчне рівняння стало співвідношенням між числами. Р. Декарт запропонував літерні позначення відомих та невідомих величин “х”, “у”, “2” Після введення Р. Декартом понять “змінної величини” та функції починається новий етап у розвитку математики, на якому самостійним предметом вивчення стає залежність між вели­чинами. .

Значних результатів у теорії чисел і геометрії було досягнуто в дослідженнях французького математика П’єра Ферма (1601—1665). Зокрема, ГІ. Ферма як один із засновників теорії чисел сформулював дві теореми (Велику та Малу), що нині відомі під його іменем. У геометрії П. Ферма більш систематично розвинув метод координат, аніж Р. Декарт. У галузі методу нескінченно малих висвітлив процес диференціювання, сформулював загальний закон диференціювання степеню та застосував його до диференціювання дробових степенів. Значний внесок зробив П. Ферма і у вивчення інтегрування степеню. Але праці П. Ферма були відомі обмеженому колу фахівців з осо­бистого листування, оскільки вони були опубліковані лише після смерті автора.

Саме в цей період математика поступово набуває статусу більшо­го, ніж окрема наука, що було зумовлено використанням методів її обчислення, її образів і способу мислення в інших науках. Насам­перед механіка розвивалась як наука математична, а її новий авто­ритет надавав математиці значення універсального методу пізнання. Р. Декарт писав, що іншого засобу знайти істину, як вивчати питання за допомогою математичних міркувань, не існує. Особливість процесу математизації механіки, а потім і фізики, полягала в тому, що гео­метрія та її образи були природним засобом цієї математизації, але в розробці питань математики і фізики переважало вимірювання величин, створення кількісних понять і пошуки законів, які можна зобразити формулами алгебри і аналізу. Ця особливість розвитку науки була зумовлена практичною діяльністю того часу та виникнен­ням актуальних завдань, які вимагали їх розв’язання з більшою точністю. Завдяки математизації наук створювалась механіко-матема- тична картина світу, в якій на перше місце виступають закони, що являють собою аналітично виражені функціональні залежності між величинами, що змінюються разом. В одних випадках подібні закони виводилися емпірично, а пізніше входили до складу якої-небудь тео­рії, в інших — одразу теоретично, тобто математично.

Динаміка — новий щабель розвитку механіки

Загальний розвиток теоретичної механіки, яка створювала ядро майбутніх галузей фізичного знання, був пов"язаний із зрушеннями в проблематиці, що зумовили перехід від переважного вирішення проблем статики до розгляду проблем динаміки. Ще до останніх деся­тиліть XVI ст. статика базувалася на працях Архімеда. Новими аспек­тами статики було поширення теорії важеля та введення поняття моменту сил для цього випадку. Зрушення розпочались з удоскона­лення доведень закону важеля Архімеда в працях Г. Галілея та С. Стевіна. Спроби розв’язання проблеми рівноваги розглядом можливих рухів робилися давно (Аріетотель, Герон Олександрійсь­кий). У середні віки принцип Герона (згідно з ним, скільки виграєть­ся в силі, стільки ж програється в шляху або в часі), відомий як “золоте правило механіки”, використовувався для розв’язання задач на рівновагу блоків. Г. Галілей не тільки скористався цим правилом механіки як загальним принципом статики, а й дав йому нове форму­лювання і успішно застосував його до простих машин: важеля, блоків, похилої площини тощо. Дещо інший принцип статики встановив Р. Декарт. У процесі розвитку статики було встановлено, що принци­пи Г. Галілея, Р. Декарта та деякі інші дають правильний результат у загальному випадку, якщо брати не кінцеві, а нескінченно малі перемкнення і відповідно — швидкості, що досягаються в нескін­ченно малий проміжок часу.

У галузі гідростатики (як розділі механіки) найбільш глибокі дослідження були проведені С. Стевіном, учнем Г. Галілея — Еван- желіста Торрічеллі. (1608—1647), а також видатним французьким фізиком і математиком Блезом Паскалем (1623-1662).

С. Стевія теоретично розробив і дослідним шляхом довів гідро­статичний парадокс і наявність в рідинах тиску, спрямованого вгору. Проведені ним досліди ввійшли до шкільного курс вивчення фізики. С. Стевін також дослідив умови рівноваги тіл, що плавають: рівновага тіл буде тим стійкішою, чим нижче лежить центр їх ваги відносно центра ваги витіснюваної рідини.

Б. Паскаль у своєму відомому ‘Трактаті про рівновагу рідин” (1653) теоретично розробив і дослідним шляхом довів закон всебічної передачі тиску в рідинах, гідростатичний парадокс, закон сполучених посудин і принцип дії гідростатичного преса. Трактат Е. Торрічеллі “Про витікання рідин”, виданий у Флоренції в середині XVII ст., мав фундаментальне значення для гідродинаміки.

У 1646—1647 рр. Б. Паскаль зробив повторне відкриття атмос­ферного тиску та дослідженнями довів, що атмосферний тиск при підйомі зменшується. Е. Торрічеллі особливо прославився тим, що не лише довів існування атмосферного тиску, а й можливість отри­мання вакууму. З відкриттям вакууму пов’язаний розвиток пневма­тики, що значно перевершив досягнення греків. Роботи Е. Торрічеллі зі стовпом ртуті в перевернутій трубці дали не лише теоретичне уяв­лення про тиск повітря, а й допомогли сконструювати прилад для його вимірювання.

Відкриття тиску повітря створило можливості для нових теоре­тичних досліджень і мало різноманітні практичні застосування. Щодо цього особливої уваги заслуговують роботи фізиків Флорентійської Академії по створенню кількох вимірювальних приладів: барометра, гігрометра, термометра, ареометра.

Математизована механіка була ядром наукового дослідження природи (майбутньої фізики), оскільки в природних явищах для вивчення найдоступнішою на той час була механічна форма руху матеріальних тіл. Тому “універсальна механіка” XVII ст. займалася проблемою руху як такого на прикладі механічного руху. Звернення до вирішення проблеми руху спричинило виникнення нового розділу механіки •—динаміки.

Розвиток динаміки розпочався з дослідження . Г. Галілеєм найпростих видів механічного руху — вільного падіння та руху тіл по нахиленій площині. Г. Галілей, по-перше, довів помилковість уяв­лень Арістотеля про механічний рух, а, по-друге, встановив ряд основних положень динаміки стосовно досліджуваних ним випадків механічного руху, які при подальшому узагальненні ввійшли в основи класичної механіки.

Першою задачею динаміки, яку розв’язав Г. Галілей, є задача про рух тіла, кинутого вертикально вниз. Він спочатку дослідив зако­ни рівноприскореного руху, дав визначення такого руху. У ранній період творчості Г. Галілей спирався 'на теорію імпетусу. В трактаті “Про рух” він критикував арістотелеву динаміку з точки зору дина­міки імпетусу, а згодом надав їй тої' форми, яка містила принцип інерції. Г. Галілей досліджував також питання про тіло, кинуте гори­зонтально. При цьому він виходив з двох принципів: принципу інер­ції для горизонтального руху та принципу розкладення руху цього тіла на два — в горизонтальному та вертикальному напрямах. У тео­рії руху тіл по нахиленій площині Г. Галілей ширрко користується поняттям моменту чи імпульсу. Імпульс, оскільки він визначається швидкістю, є характеристикою руху, його мірою, поняттям, з якого потім виникло поняття кількості руху. Величина імпульсу, на думку Г. Галілея, визначається не лише швидкістю, а й її прискоренням. Тому він вважав за можливе вимірювати імпульс силою, під дією

якої тіло приходить в рух. У намаганні Г. Галілея надати поняттю “імпульс”, що раніше використовувалось у дусі перипатетичної фізи­ки, наукової визначеності, встановити його міру та водночас розкрити закономірності руху закладався фундамент наукового аналізу руху, формування основного закону механіки.

У галузі динаміки доводилось починати із самого початку. Необ­хідно було встановити основні поняття (переміщення, швидкість, прискорення), дати наукову класифікацію руху, і, зрештою, вивчиш причини, які зумовлюють той чи інший вид руху, тобто встановити закони динаміки. Ці причини крилися не лише в зовнішніх фізичних обставинах, а й у внутрішніх властивостях тіла, яке рухається. Необ­хідно було розкрити, що залежить від внутрішніх властивостей тіла, а що від зовнішніх обставин; це означало, врешті-решт, встановлення таких понять динаміки, як маса і сила. Проте в епоху Г. Галілея обговорення цих понять ще не розгорнулося.

На чергу постало питання насамперед про систему відліку. Стара астрономія знала абсолютний спокій і абсолютний рух. Тіло, яке покоїться відносно Землі — абсолютно покоїться, яке рухається — абсолютно рухається. М. Копернік перший перемістив то'псу відліку на Сонце і описав астрономічні явища з точки зору сонячного спостерігача. Для фізики крок, зроблений М. Коперніком, мав те фундаментальне значення, що він висунув питання про вплив зміни системи відліку на спосіб пояснення ходу процесів, які вивчаються в цій системі.

Г. Галілей як астроном, оцінивши переваги системи М. Копер- ніка, мусив довести впроваджену систему відліку. Його аргументація на користь системи М.Коперніка була настільки блискучою, що в науці виникла домовленість: систему відліку, пов’язану з центром сонячної системи, називати галілеєвою. Г. Галілей встановив факт великої принципової ваги: будь-яка система відліку, що перебуває в рівномірному прямолінійному русі відносно галілеєвої системи, рівноправна з нею стосовно опису механічних процесів.

Наступним кроком, який зробив Г. Галілей, була раціональна класифікація руху на вимушені й природні. Усе, що відбувається в природі, має відбуватися за законами природи — основна ідея нового світогляду. Для нової наукової класифікації руху необхідно було чітко встановити основні характеристики руху: швидкість і прискорення.

Г. Галілею належить поділ руху на рівномірний та нерівномірний. При цьому Г. Галілей обмежується розглядом прямолінійного руху. Він дає чітке визначення рівномірного руху як , такого, при якому відстані, які проходять рухомі тіла в рівні проміжки часу, рівні між собою.

В роботі “Про рух” Г. Галілей дав уявлення про вільне падіння тіл. Прискорення падіння він пояснює дією сили ваги. Це дуже важлива для науки обставина: в поясненні використано поняття сили. У природному прискореному русі тіло отримує одне й те саме прискорення під дією даної сили, хоча швидкість його в кожний момент різна: дія сили на тіло не залежить від стану його руху. Отже, всі тіла, що падають вільно, мають однакове прискорення. Швидкість у такому падінні зростає пропорційно часу. Г. Галілею належить пріо­ритет у постановці питання про швидкість світла та спроба вирішити цю проблему дослідним шляхом.

Динаміка, начала якої були закладені Г. Галілеєм, стала не тільки ще одним етапом розвитку механіки як розділу фізичного знання, а й переходом до теоретичного мислення, на вищий рівень абстракції завдяки використанню математичного апарату. Зв’язок механіки- фізики з математикою, який стає особливою ознакою XVII ст., найважливіших його наукових здобутків споріднює механіка Г. Галі- лея з філософом і математиком Р. Декартом. Якою б великою не була роль Г. Галілея в створенні нової механіки, остання, ше не мала чіткого визначення принципів інерції й таких важливих понять, як маса, сила, удар, тиск тощо. В розвитку цих понять Р. Декарт зробив відчутний крок уперед порівняно з Г. Галілеєм у подальшому розвит­ку динаміки. Він стояв на позиціях кінетичного світогляду, згідно з яким основу світу становлять матерія і рух. Відштовхуючись від тези про те, що для матерії слід визнавати ті властивості, які ясно й чітко уявляються розумом і від яких неможливо абстрагуватись, Р.Декарт робить висновок, що саме такою є протяжність і тому вона є сутністю матерії. Матерії, за Р. Декартом, властиві певні закони руху: під останнім він розуміє виключно просторове переміщення її частин одна відносно іншої. Ці закони Р. Декарт висловив у трьох поло­женнях:

1. будь-яке тіло зберігає свій стан: зміни його можливі лише при безпосередньому контакті (під час удару, тиску, поштовху) з ін­шим тілом;

2. якщо частинка почала рухатись, то цей рух буде продовжува­тися, доки інші її не зупинять чи не сдовільнять рух; кожна з части­нок поодинці намагається зберегти рух по прямій (власне закон інер­ції, сформульований в двох правилах);

3. якщо одне тіло стикається з іншим, воно передає йому рух, який сама втрачає, і не може відняти рух більший, ніж той, іцо придбає.

До'раніш встановлених основних законів руху Р. Декарт приєд­нує в подальшому закони удару як закони елементарної взаємодії.

Учення про сутність матерії та закони її руху Р. Декарт вважав осно­вою, на якій має будуватися вся наука про природу.

Р. Декарту належить перша теорія заповненості простору, повно­го та безперервного заповнення Всесвіту тонкою матерією, що рухається. Раз створена матерія і рух незнищенні. В одному із своїх листів Р. Декарт писав: “Думаю, що природа руху така, що, якщо тіло прийшло в рух, уже цього досить, щоб воно його продовжувало з тією ж швидкістю і в тому ж напрямі, по тій же прямій лінії, доки воно не буде зупинене якою-небудь іншого причиною”. В історії фізики закон інерції відносять до 1644 р — часу виходу “Начал філософії” Р. Декарта, де було вперше дано чітке його формулюван­ня. Р. Декарт висловив припущення, що інерція визначається здатніс­тю тіла піддаватися зовнішнім впливам. Він уперше впроваджує поняття збереження кількості руху. Р. Декарт упритул підійшов до з’ясування закону дії та протидії, але не відкрив його, оскільки вважав рух арифметичною, а не векторною величиною.

Р. Декарт створив ті основи механіки, які потім були розвинені І. Ньютоном. Р. Декарт дослідив рух математичним шляхом, що водночас сприяло суттєвому розвитку самої математики. За допомо­гою понять “змінна величина” та “функція” він увів поняття “рух” у математику.

Починаючи з XVII ст. фізика та математика знаходяться в орга­нічному зв’язку. Полеміка, яка точилася між ними в античні часи, стає вичерпаною: фізика-механіка тепер базується на фундаменті математики. Однак у Новий час сам характер математики, як і її логіко-філософське осмислення, змінилися порівняно з математикою античною внаслідок впливу механіки.

Наукова революція, що розпочалася в механіці, почала швидко поширюватися на інші галузі природознавства. Уявлення та законо­мірності механіки переносяться в хімію, оптику, теорію теплоти, навіть у психологію (теорія тяжіння пристрастей).