§ 6.2. Новий етап в розвитку західноєвропейської математики

З-поміж арабомовних учених чільне місце належало самаркан­дському математику і астроному Гійас ад Діну Джемшиду ібн-Масуд аль-Каші (помер близько 1436). Він показав велике мистецтво при виконанні обчислень, яке можна порівняти з досягненням європейців наприкінці XVI ст. Аль-Каші працював у обсерваторії Улуг-бека, залишив математичні трактати “Ключ арифметики”, “Трактат про коло” (1427). Він знав метод розв"язання загальних алгебраїчних рівнянь вищих степенів, знав формулу бінома для будь-яких додатних

цілих показників, поряд з шеспщесягковими дробами використовував десяткові дроби з комою, а число % було відоме Каші з сімнадцятою десятковими знаками.

У XV ст. майстри лічби в Італії володіли арифметичними опе­раціями, враховуючи дії з ірраціональними числами, а італійські художники були гарними спеціалістами з геометрії. Одним із досяг­нень останніх була розробка теорії перспективи (Леон Батіста Альбер­ті, 1404—1472, П’єро де ла Франческа, 1416—1492). Книга Луки Пачолі (1445—1514) “Сума арифметики” містила відомості з ариф­метики, алгебри, тригонометрії. Йоган Мюллер (1436—1476) перек­ладав і друкував рукописи класиків— Аполлонія, Птолемея, Герона, Архімеда. Його пращ “Про різні трикутники” —повний вступ до тригонометрії. З цього часу тригонометрія стала наукою, незалежною від астрономії, а використання індійсько-арабських цифр в матема­тиці узвичаюється.

На початку XVI ст. італійські математики довели, що можна розвивати нову математичну теорію, якої не було у греків і арабів. Ті, хто жив у ту епоху, намагалися не лише засвоїти науку класиків, а й створити нове, вийти за межі класичного. Розв’язання рівнянь третього степеня було здійснено греками і арабами у вигляді кількох частинних випадків. Болонські математики XVI ст. намагалися знайти загальний алгебраїчний розв’язок кубічних рівнянь. Така теорія була відкрита професором Сципіоном дель Ферро (1456—1526). Він не публікував своїх методів розв’язання рівнянь і розповів про них лише небагатьом друзям. Але про його відкриття стало , відомо, і після смерті С. Ферро венеціанський майстер лічби Нікколо Тарталья (1500—1557) заново відкрив його методи. Він прилюдно продемон­стрував свої результати, але метод тримав у таємниці. Врешті-решт Н. Тарталья поділився своїми міркуваннями з міланським доктором Джеронімом Кардано (1501—1576), який дав клятву зберігати їх у таємниці. Але коли 1545 р. Дж. Кардано опублікував свою книгу з алгебри “Велике мистецтво”, то в ній було повністю представлено й метод Н. Тартальї. Книга Дж. Кардано містила також ще одне блискуче відкриття математика Людовіко Феррарі (1522—1565): метод зведення розв’язання загального рівняння четвертого степеня до розв’язання кубічного рівняння.

Іще один із великих болонських математиків Рафаель Бомбеллі (близько 1526—1573) в праці “Алгебра” увів теорію уявних і ком­плексних чисел. Книгою Р.Бомбеллі користувалося багато математи­ків наступних поколінь. З того часу комплексні числа втратили щось від надприродного, хоча повне їх визнання прийшло лише у XIX ст.

Щодо геометрії XVI ст., то давньогрецька геометрія ще не втрати­ла свого престижу, особливо з того часу, коли були знайдені праці Архімеда, вперше видані Н.Тартальєю 1543 р. Однак використання алгебраїчних методів у геометрії значно полегшувало числові підра­хунки.

Проблема нескінченності в працях Миколи Казанського

Значний вплив на розвиток математичного мислення мало тлума­чення його принципів Миколою Кузанським (1401—1464). Якщо своє розуміння ролі та значення математики Микола Кузанський перейняв у греків, то в тлумаченні основних принципів математич­ного мислення він іде далеко вперед від “Начал” Евкліда. М. Кузан­ський доводив збіг протилежностей: максимум — мінімум, єдине — множинне, скінченне — нескінченне, і тим сприяв підготовці рево­люції в математичному способі мислення, яка завершилась обчис­ленням нескінченно малих. У його трактаті “Про вчене незнання”, що посідає чільне місце серед його творів (були опубліковані лише в 1515 р.), спеціальним предметом дослідження стає поняття нескін­ченності: воно розглядається як поняття насамперед філософське. Але в цей час нескінченність привертає увагу також математиків і приро­додослідників. Його праці підготували ренесансний пантеїзм і пере­думови для обгрунтування нескінченності Всесвіту.

У згаданій праці Микола Кузанський заперечує положення схо­ластичного світогляду про абсолютну нерухомість Землі, про те, що Земля міститься в центрі Всесвіту і утворює так званий “елементний” світ, на противагу небесному, незруйновному світу, і про обмеженість Всесвіту. Він підкреслює, що немає ніякого центра, Всесвіт необме­жений і Земля, як і інші планети, рухається. Микола Кузанський підкреслює ідею матеріальної єдності світу: Земля таке саме тіло, як і Місяць, Сонце, інші планети. Він висловив думку про необхідність експериментального дослідження природи і сам здійснив цілий ряд дослідів з механіки, гідростатики тощо, які були в подальшому вико­ристані Г. Галілеєм.

Створення геліоцентричної системи )світу

У XV ст. продовжувався розвиток астрономії на основі Альма- гесту. Й.Мюллер у 70-х рр. проводив спостереження над кометами. До цього ж періоду належать і астрономічні відкриття Леонардо да Вінчі. Він першим дав пояснення тьмяному сяянню, яке можна спостерігати на темній частині Місяця, коли освітлена частина його поверхні знаходиться у фазі серпа. Учений також довів, що коли Місяць знаходиться в періоді, близькому до молодика, освітлена Сонцем частина земної кулі повернута до Місяця. Завдяки цьому Місяць освітлюється попелястим світлом або земним сяянням, подіб­но до того, як Земля освітлюється місячним.

Учені Джіроламо Фракабторо (1478—1553) і Петро Апіан (1495— 1552) проводили спостереження над кометами. Вони помітили, що хвіст комета, коди вона рухається, завжди спрямований у протилеж­ний до Сонця бік. Петро Ноніус (1492—1577) правильно визначив тривалість сутінок та їх зміну залежно від широти. Жан Фернель 1528 р. знову виміряв розміри Землі і отримав результат, похибка якого була менша за 1%.

Значний розвиток астрономічних знань у XVI ст. пов’язаний з іменем Миколи Коперніка (1473—1543), творця геліоцентричної системи світу. 1543 р. водночас є роком публікації його книги “Про обертання небесних сфер” і роком смерті автора. У сучасній літера­турі сформульовано висновок про те, що М. Копернік знаменував своєю працею “кінець” середніх віків і початок Нового часу більш яскраво, ніж завоювання Константинополя турками або відкриття Америки Колумбом, бо це було відкриття нового світобачення.

М. Копернік розпочав освіту з вивчення медицини і математики в Краківському університеті, а продовжив навчання у Падуанському та Болонському університетах. Деякий час читав лекііії в Римі. 1505 р. повернувся на батьківщину доктором церковного права і почав роботу над своїм твором. При цьому він керувався практичними: потребами, пов’язаними з установленням точного календаря і обчисленням точного прогнозу положення планет, Сонця, Місяця на небесному склепінні. Міркування про рух Землі, як це підкреслює сам Копернік, висловлювали різні вчені ще в стародавні часи. Автор перетворив здогадки своїх попередників у теорію, що грунтується на величезному масиві спостережень. М. Копернік упродовж багатьох років вивчав “Альмагест” Птолемея. Він виконав величезну роботу з приведення у відповідність теорії Птолемея із спостереженнями астрономічних явищ. Згідно з припущенням М.Коперніка, видиме переміщення планет є не що інше, як відображення в сфері нерухомих зірок тих чи інших планет, спостережуваних із Землі при їх русі відносно Сонця. При цьому Копернік виходив з принципу пояснення видимих рухів, який був відомий ще в стародавні часи.

У 1506—-1507 рр. Микола Копернік, аналізуючи геоцентричну систему Птолемея, дійшов висновку, що вона хибна, і в своєму “Малому коментарі” сформулював поняття про відносність руху,

обґрунтував думку щодо обертання Землі навколо своєї осі й обер­тання Землі та інших планет навколо Сонця як центрального тіла. Система М. Коперніка, підготовлена працями давньогрецького вчено­го Арістарха Самосського, Миколи Кузанського, Леонардо да Вінчі, руйнувала систему Птолемея, але постулати власної геліоцентричної системи М. Копернік виклав в полемічному співвідношенні до прин­ципів Птолемея.

Праця М. Коперніка складається з шести книг. У першій, голов­ній частині, він описав нову геліоцентричну систему, у другій — виклав сферичну астрономію і навів каталог зірок, інші частини присвятив розгляду руху планет, Землі, Місяця на основі запропо­нованої ним геліоцентричної системи світу. До числа цілком самос­тійних ідей М. Коперніка належить висновок про те, що Місяць є супутником Землі, який допоміг в подальшому знайти супутники інших планет.

Ознайомлення деяких учених і духовенства з новаторськими ідея­ми М. Коперніка почалося ще за кілька років до видання його праці. Можливо, з 1512 р. він починає розсилати рукописний коментар до своєї системи, а в 1530 р. його учень Ретік опублікував коментар до праці М. Коперніка. Учення М. Коперніка зацікавило багатьох, у церковників воно викликало переляк. Проти геліоцентричної системи виступив сам голова протестанської церкви Мартін Лютер. Але спочатку книга М. Коперніка не була заборонена, оскільки церков­ники намагалися фальсифікувати його вчення в своїх інтересах. Книга вийшла в світ з анонімною передмовою (автор — богослов Оснандер), тому здавалося ніби висловлені в ній думки належать авторові. У передмові стверджувалося, що астрономія не здатна дати картину дійсної будови Всесвіту, її завданням є встановлення гіпотез, за допомогою яких можна виконувати правильні розрахунки. Сам же М. Копернік викладав свою систему будови Всесвіту саме як систему реальної будови Всесвіту та здійснюваних у ньому рухів.

Встановивши як рух Землі навколо своєї осі, так і рух її та планет навколо Сонця, М. Копернік подолав протиставлення земного і небесного. Із системи М. Коперніка випливало вчення про наяв­ність багатьох світів, про існування життя і мислячих істот також на інших планетах Сонячної системи в нескінченному просторі взагалі. Але в цьому разі спростовувалась догма про страждання Христа за людей, які живуть на Землі, тощо. Правда, цих висновків сам М. Копернік не зробив, але їх зробили, виходячи з його вчення, його послідовники: Дж. Бруно, Г. Галілей, М. Ломоносов. У питанні

про нескінченність М. Копернік йшов далі Миколи Казанського, який надав властивість нескінченності лише Богу. М. Копернік, хоча й з певною пересторогою, розумів Всесвіт як нескінченний (хоча б у формі гіпотетичного припущення).

Механіка як поле діяльності техніків і митців

У епоху Відродження зростає значення механіки. Механіка була потрібна для розвитку астрономії, військової справи, гідротехніки, будівництва, архітектури. Значну частину роботи по створенню науки про рух виконували інженери і практики, які займалися в основному прикладними питаннями.

Працю плеяди видатних інженерів минулого продовжив Леонардо да Вінчі. Його великими попередниками були Роберто Вальтуно та Франческо ді Джорджо Мартіні (XV ст), які займалися гідравлікою, балістикою, архітектурою, скульптурою, живописом тощо. Механікою займався також видатний художник Альбрехт Дюрер (1471—1528). Він розробив теорію фортифікації, застосував геометричні методи при зображенні людського тіла. У своїх побудовах він користувався циркулем і лінійкою, а також основами проекційного креслення. Він розробив теорію пропорцій, вчення про проекції та перспективу і використовував їх не лише в живопису, а й у своїх інженерних робо­тах. Леонардо да Вінчі в механіці займався вивченням руху тіл по похилій площині, законом важеля, уточнив поняття моменту, дослі­див тертя, падіння важких тіл, відкрив закони гідростатики. Він першим дослідив політ птахів і наблизився до створення апарата, важчого за повітря, створив багато різних схем машин і висунув ідею про те, що машини складаються з механізмів, а не з більш простих машин. Вивчаючи тертя, Леонардо да Вінчі зрозумів неможливість існування вічного двигуна років за 300 до того, як це було доведено.

Механіки шукають пояснення причин природних властивостей та явищ, що відкриваються при застосуванні та створенні нових технічних пристроїв, пізнанні природних процесів. Отже, відбувається змикання теоретичних і практичних знань. Цікавою постаттю з цієї причини був Н. Тарталья, який, виконуючи замовлення практиків на математичні розрахунки, заклав основи нового розділу науково- технічного знання— балістики, розв’язав у загальній формі задачу про максимальну дальність стрільби. Розвиток балістики, що був пов’язаний із удосконаленням вогнепальної зброї, сприяв встанов­ленню закономірностей вільного падіння тіла.

“Фізика імпетусу”

У пошуках причин руху фізика була єдина, але різними були шляхи цього пошуку. Схоластика шукала “силу діючу” як субстанцію, що діє своїми якостями. Отже перші кроки на шляху до механічного розуміння світу були зроблені пізньою схоластикою. У середньовіччі готується цілий ряд передумов науки Нового часу: поняття порож­нечі, нескінченного простору, нескінченного руху по прямій, а також вимога обмеження пояснення діючими причинами. Розвиток теоре­тичного змісту фізичних знань у XV*—XVI ст. пов’язаний з поступо­вою зміною змісту понять “тіло”, "‘рух”, “матерія” тощо перипате­тичної фізики.

У XV ст. виникла так звана “фізика імпетусу” (імпульсу), а наприкінці XVI ст. вона стає широко відомою. Представником фізики імпетусу був Джованні Бенедетті (1530—1590), автор трактату “Різні математичні та фізичні міркування” (1585). Дж. Бенедетті цікавило питання про причини збільшення швидкості тіл, шо падають, він ближче за всіх підійшов до відкриття закону інерції. Поняття імпетусу було введено у фізику для пояснення метального руху і розумілося як збережена сила, яку надає двигун кинутому тілу і яка рухає його впродовж деякого часу. Величина імпетусу пропорційна швидкості, з якою двигун рухає тіло в момент кидання, та масі кинутого тіла. У фізиці цього періоду імпетус розглядався як певний вид якості, подібний, наприклад, до теплоти: кількість теплоти в тілі пропорційна його температурі, а також масі нагрітого тіла. Подібно до того, як нагріте тіло поступово охолоджується і втрачає теплоту, кинуте тіло в міру руху витрачає наданий йому імпульс (імпетус). Цей імпульс витрачається на подолання інертності тіла — його тенденції до спокою. Отже інерція тіла у фізиці імпетусу є те, що сприяє припи­ненню руху, тобто витрачанню імпетусу. Спочатку поняття імпетусу вживалося для пояснення вимушеного руху. Але поступово його стали застосовувати також для пояснення вільного падіння тіл, тобто природного руху. Фізика імпетусу впритул підійшла до відкриття закону інерції.

За арістотелевою традицією у фізиці існувало уявлення про непе­рервний рух, як рух по колу, а водночас і про коло як найдоверше- нішу фігуру. Дж. Бенедетті зробив спробу переглянути арісготелеву тезу про те, що прямолінійний рух не може бути неперервним. За допомогою геометричних міркувань він довів, що рух по прямій може бути неперервним, причому на обмеженому відрізку прямої. Модель, котру Дж. Бенедетті використав у своєму доведенні, дозволила йому стверджувати, що стан спокою, в якому начебто перебуває тіло, рухаючись уздовж нескінченного відрізка Прямої, є лише видимість. Насправді те, що сприймається як спокій, є рух з нескінченно малою швидкістю Доведення Дж.Бенедетті дали змогу зробити висновок, що відбиттям неперервного руху по колу на прямій лінії є проекція руху маятнику. Отже маятник став чуттєво даною моделлю першого та найдосконалішого руху —руху небосхилу, але не такого, яким він є насправді, об’єктивного, а такого, яким його спостерігають, тобто ілюзорного. Завдяки зоровій ілюзії рух маятника замінив рух по колу Арістотеля, а маятник перетворився в головну модель меха­ніки наступного періоду.

Водночас істотно розширюється межа дослідницьких робіт. Із числа сучасників М. Коперніка слід згадати фізика Франческо Мавроліка (1494—1575), який першим пояснив функції кришталика ока, чим сприяв теоретичному розумінню окулярів, практичне засто­сування яких було давно відоме.

Завдяки розвитку мореплавства і застосуванню навігаційних приладів виник інтерес до дослідження магнітів і вивчення магнітного поля Землі. Уже Колумб зрозумів важливість для мореплавства знання магнітного схилення для обрання правильного курсу. Таким чином постала проблема вивчення земного магнетизму та складання карт магнітних схилень та нахилів.