§ 2.2. Елементарна математика Давньої Греції

Виникнення незалежної від релігії філософської думки викликало потребу раціонального пояснення явищ природи, що поставило нові завдання перед математикою. Із самого початку греки займалися математикою з однією метою — у межах певної раціональної схеми зрозуміти, яке місце посідає людина у Всесвіті. Математика допо­могла віднайти порядок у хаосі, зв’язати ідеї в логічні ланцюги, з’ясувати основні принципи побудови світу. Вона була найбільш тео­ретичною серед наук. Саме тому перетворення в характері матема-

тичних знань стали найвпливовііїшм фактором розвитку нового (раціонально-логічного) типу пізнання і знання.

У VIII—VII ст. до н.е. знання, що пов’язані з “мистецтвом обчислення”, у Греції не перевищували рівня, досягнутого у Вавілоні й Єгипті. Але вже в VI ст. до н.е. стан різко змінився. Зберігаючи значення практично-прикладної математики, схожої на єгипетську й вавілонську, у Давній Греції з’явилася нова, теоретична математика, що характеризувалася систематичним ^зв’язком математичних вислов­лювань, строгим переходом від одного припущення до іншого за допомогою доведень.

Математика Давньої Греції, як і вся наукова та художня творчість, на відміну від східної перестала бути безособовою: вона створювалася відомими на ім’я математиками, які залишили після себе математичні твори (хоча до сьогодні вони дійшли лише урив­ками або завдяки пізнішим коментарям).

Немає сумнівів, що грецькі купці ознайомилися зі східною ма­тематикою, прокладаючи свої торговельні шляхи. Проте люди Сходу майже не цікавилися теорією, і греки швидко з’ясували цей факт. За переказами, мілетський купець Фалес у першій половині VI ст. до н.е. відвідав Вавілон і Єгипет. Фалес Мілетський (625—547 рр. до н.е.) був першим греком, який почав доводити геометричні тео­реми. Завдання, які виникали в греків у галузі геометрії, були, як і у вавілонців, пов’язані з практичнщш потребами — будівництвом, навігацією, землемірством. Але підхід до їх розв’язання був суттєво новим. Грецькі геометри не обмежувалися приблизними, емпірични­ми розв’язаннями, а шукали тотаих доказів ї логічно вичерпних рішень проблеми.

В особі Фалеса Мілетського грецька математика крім питання “як?” поставила питання “чому?”. Фалес довів, що коло розділяється діаметром навпіл; що у рівнобедреному трикутнику кути основи одна­кові; що вертикальні кути, які утворюються при перетині двох прямих, однакові; що два трикутники однакові, якщо два кути і одна сторона одного з них збігаються з двома кутами і відповідною сторо­ною іншого.

У VI ст. до н.е. було побудовано не тільки перші математичні теорії, а й перші математичні моделі світу. Створення останніх пов’язують насамперед зі школою піфагорійців, названою так на честь засновника школи, — Піфагора (близько 580—500 рр. до н.е.). Піфагорійці прагнули знайти в природі й суспільстві незмінне. Во&ти зробили числа основною підвалиною своєї філософії Всесвіту і нама­галися звести всі співвідношення до числових (“все є число”). У школі Піфагора арифметика з простого мистецтва обчислення посту-

пово переросла в теорію чисел. Відомо* що числам першої десятки піфагорійці приписували магічні властивості. Цілі числа поділялися на класи — “досконалі”, “дружні”, “лінійні”, “квадратні” тощо. Особливу увагу приділяли проблемам ділення Чисел, визначення видів середнього (арифметичного, геометричного, гармонічного). В астрономії, музиці, геометрії та арифметиці піфагорійці побачили загальні числові пропорції, гармонічні співвідношення, пізнання яких, за їх поглядами, саме і є пізнанням сутності й будови Всесвіту. Взагалі характерним для піфагорійської арифметичної теорії було переплетіння магії чисел з пошуками реальних числових закономір­ностей.

У геометрії піфагорійцям були відомі деякі властивості правиль­них многокутників і правильних многогранників. Вони показали, як заповнити площину системою правильних трикутників або квадратів, або правильних шестикутників, а простір — системою кубів. Щодо теореми Піфагора, то вона була відома ще у Вавілоні. Цілком можли­во, що перше загальне доведення її було виконано в школі піфаго­рійців. Найважливішим у піфагорійців вважається відкриття ірраціо­нального у вигляді несумірності відрізків прямої лінії. Відкриття несу- мірності-ірраціональності, мабуть, уперше примусило молоду грецьку науку усвідомлено поставитися до своїх начал, бо ті поняття числа, точки, фігури тощо, якими оперували піфагорійці, ще не були логічно обгрунтовані. Із відкриттям несумірності з’явилося також намагання геометрично відобразити відношення, що, як з’ясувалося, не пере­даються за допомогою арифметичних чисел. Величини почали зобра­жати за допомогою відрізків і прямокутників, що привело до форму­вання начатків геометричної алгебри.

У математиці V ст. до н.е. предметом дослідження стали так звані “три знамениті математичні проблеми античності”:

1. трисекція кута, тобто поділ будь-якого заданого кута на три частини;

2. подвоєння куба, тобто визначення ребра такого куба, який мав би об’єм, що вдвічі перевищував об’єм заданого куба;

3. квадратура круга, тобто пошуки такого квадрата, площина якого дорівнювала б площині даного круга.

Значення цих проблем полягає в тому, що їх не можна точно вирішити геометрично за допомогою скінченної кількості побудов прямих ліній і кіл, а можна вирішити тільки приблизно. Унаслідок цього дані проблеми стали засобом проникнення в нові галузі мате­матики. У зв’язку з цими проблемами було винайдено конічні пере­різи, деякі криві третього та четвертого порядку і трансцендентну криву, що називається квадратрисою,

7 — 6-2866

Нова сторінка в розвитку математики була пов’язана з дослід­женням проблеми нескінченності, що здійснювалось у школі елеатів. Відкриття труднощів у теоретичному тлумаченні змін, що відбувають­ся під час руху тіла, належить Зенону Елейському (близько 450 р. до н. е.). Він звернув увагу на суперечності, що виникають у спробі розумово осягнути нескінченне в поняттях. Його апорії були перши­ми парадоксами, що виникли у зв’язку з поняттям нескінченного. Парадокси Зенона суперечили деяким давнім інтуїтивним уявленням щодо нескінченно малого та нескінченно великого. Завжди вважало­ся, що суму нескінченної множини величин можна зробити як завгодно великою, навіть якщо кожна величина занадто мала, а також що сума скінченної або нескінченної кількості величин розміру нуль дорівнює нулю. Зенонова критика була спрямована протй таких уявлень. Його парадокси дійшли до нас завдяки Арістотелю і відомі під назвами “Ахіллес”, “Стріла”, “Дихотомія”, “Стадіон”. Вони сформульовані так, щоб підкреслити суперечності в поняттях руху і часу, проте ці парадокси не були спробою розв’язати такі супереч­ності.

Аргументи Зенона показали, що скінченний відрізок можна розбити на нескінченну кількість малих відрізків, кожний з яких має скінченну довжину; що існують труднощі, пов’язані з поясненням змісту судження типу “пряма ”складається" з точок”. Цілком віро­гідно, що сам Зенон не мав уявлення про те, до яких математичних висновків приводять його міркування. Роздуми самого Зенона, насам­перед, були спрямовані проти піфагорійських уявлень про простір як суму точок (“точка є одиниця положення”).

Вже на середину V ст. до н.е. грецька математична думка досягла значного прогресу внаслідок розробки загального методу, за допомо­гою якого можна було дослідити зв’язок між окремими положеннями в їх взаємозалежності —методу математичної дедукції. Першим плодом застосування цього методу до геометричних об’єктів був трактат з геометрії Гіппократа Хіосського (друга половина V ст. до н.е).

У IV ст. до н е. математична проблематика формувалась у певній залежності від уявлень щодо наукових знань, які висувалися філосо­фією. Остання строго відокремлювала науку про числа від “мистецтва обчислення”, а геометрію — від “мистецтва вимірювання”. Спираю­чись на існування проблеми несумірностей і відсутність остаточно сформульованого поняття ірраціонального числа, філософія в особі Арістотеля повністю заперечувала законність застосування арифмети­ки до вивчення геометричних величин. Але в реальності математикам непрямим чином вдалось уникнути цього.

В історії розвитку математичного знання значне місце посідає математична школа Платона. Сучасні дослідники (ГІ. П. Гайденко) вбачають у доробках Платона формування однієї з трьох наукових програм античності, що тривалий час зберігала своє значення для розвитку математики. Зоїфема, увагу привертають принципові засади, що обгрунтовані Платоном і використовувалися в математичних дослідженнях його учнів, а саме:

1. місце числа між світом чуттєвим і “істинно сущим”;

2. число не відбиває сутності всього, а є лише шляхом його осягнення;

3. розрізнення арифметики і геометрії;

4. необхідність логічного осмислення поняттєвих основ матема­тики.

Перші два положення віддзеркалюють полеміку платонівської школи з піфагорійською.

Найбільш важливі конкретні досягнення математики IV ст. до н.е. пов’язані з іменами математиків платонівської школи Ар хіта (друга половина V — перша половина ГУ ст. до н.е.), Теетета (вмер до 369 р. до н.е.) та Евдокса (близько 408—355 рр. до н.е.). Теетету приписують теорію ірраціональних чисел, ім’я Евдокса пов’язане із започаткуванням теорії пропорцій і з “методом вибирання”, що уможливив строге обчислення площини й об’єму. Його досить строгі формулювання допомогли визначити напрямки розвитку грецької аксіоматики і значною мірою всієї грецької математики. Евдоксова теорія пропорцій вийшла за межі арифметичної теорії піфагорійців, яку застосовували тільки до сумірних величин. Це була суто геомет­рична теорія, викладена в строгій аксіоматичній формі, яка зробила зайвими будь-які застереження щодо несумірності або сумірності розглядуваних величин. “Метод вибирання” обходив пастки нескін­ченно малого, зводячи проблеми, де вони могли з’явитися, до проблем, які вирішуються засобами формальної логіки.

Разом з “методом вибирання” в античній математиці існував “атомний метод”, пов’язаний з ім’ям Демокріта і його атомістикою. Припускалося, що відрізок прямої, площина, об’єм складаються з великої, але скінченної кількості неподільних “атомів”. Обчислення об’єму тіла полягало в підсумовуванні об’ємів усіх “атомів”, з яких складалося тіло. Перевага “атомного методу” Над “методом вибиран­ня” полягала в тому, що перцйШ полегшував знаходженая ноЬих результатів. Але майже всі класичні автори застосовували мЬтод Евдокса.

т

У VI—V ст. до н.е. після нагромадження великої кількості конкретного матеріалу в Давній Греції почався процес систематичної і логічно послідовної побудови підвалин математичної науки. З цього часу в історії цієї науки почався період елементарної математики.

“Механічні мистецтва” античності

Велике значення для виникнення нового типу знання і спеціа­лізованого (наукового) пізнання мав розвиток виробничих сил сус­пільства, зумовлений переходом від використання ручних знарядь праці до все більш систематичного застосування механізмів, що засту­пають людину спочатку як власника простої рушійної сили, а потім як виконавця роботи.

Із розвитком будівельної справи з’являються пристрої і механізми для підіймання й переміщення вантажів, принцип дії яких зберігся і донині (згадаймо сучасні підйомні крани і лебідки). За їх допомогою зводили фортеці, міські будівлі, палаци, храми і мавзолеї. Удоскона­лення лука та пращі привело до створення балліст і катапульт. Військові машини були першими пристосуваннями, розміри яких ретельно обчислювали. Розрахунковим модулем був отвір, через який пропускали канат. Чітко розраховували масу кам’яного заряду для кожної машини.

Розвиток технічних знань в античному суспільстві сприяв посту­повій диференціації механіки на раціональну і ремісничу. Раціональ­на механіка містила в собі геометрію, арифметику, астрономію і “фізичні демонстрації”. Реміснича, або прикладна, механіка охоплю­вала ремесла, що забезпечували п’яггь основних '“мистецтв”: виготов­лення пристроїв для підняття маси з витратою невеликих сил; водо­підйомних пристроїв; створення воєнних метальних машин; механіч­них, пневматичних і гідравлічних автоматів; виготовлення глобусів і “небесних сфер”.

Праці, що висвітлювали “механічну науку” як цілісну систему знань про техніку, будувалися за розділами відповідно до п’яти спеціалізованих галузей технічної діяльності (“мистецтв”) з виділен­ням у кожному розділі теоретичного обгрунтування і прикладного, рецептурного знання. Механіка у розумінні того часу була особливим мистецтвом конструювання машин, інструментів, що змінювали відносини людини з природою, дозволяли вивчати і тим самим “перехигрювати” її.

Першим трактатом з історії механіки вважається трактат “Меха­нічні проблеми”, який приписують Арістотелю. Але існує й така точка зору, що автором трактату був не Арістотель, а хтось із пізніших

представників школи перипатетиків. Головна проблема трактату — проблема важеля. Дії важеля автор вважає такими явищами, які викликають подив. Здається дивним, що порівняно невелика сила за допомогою важеля може рушити або піднімати набагато важчі від неї речі. У подальших роздумах автор Пояснює дію важеля через аналіз принципу дії нерівноплечих важелів. Під дією тієї самої ваги довге плече пересувається швидше, ніж коротке, причому його швидкість буде пропорційною до довжини плеча. Звідси робиться висновок, що відношення ваг на короткому і довгому кінцях важеля обернено пропорційне до відношення довжин відповідних плечей. Чим далі людина, що приводить важіль у дію, розміщується від точки опори, тим більшу вагу вона піднімає. Цей беззаперечний висновок, що є узагальненням багатовікової практики людства, штучно притяг­нутий автором до пояснення дивних властивостей кола. Тому трактат “Механічні проблеми” був спробою теоретичного осмислення дії важеля, але ще далекою від справді наукової теорії. У трактаті розгля­дається понад ЗО конкретних проблем, що стосуються дії різних технічних присіроїв та інструментів. Цікаво, що тут уперше з’явля­ється термін “тертя”, якого немає в жодному трактаті арістотелевого зводу.

Створення засад переходу до раціонального опанування явищами природи.

Елементні та атомістичні поглади у фізиці

Перехід від міфологічного світосприйняття до раціонального розгляду явищ природи відбувся в основному за допомогою поняття елемента. У кількох найрозвиненіших культурних ареалах — в Індії, Китаї і Греції — майже одночасно (у VII—-V ст. до н.е.) виникли і розвивалися незалежно одне від одного уявлення про елементи, які відіграли вирішальну роль у становленні раціонального підходу до розуміння світу. У кожному з названих ареалів вчення про елементи прийняло свою специфіку.

В Тндії вперше ідея трьох елементів, що лежать в основі світу (вогонь, вода, пожива, тобто все ірубо матеріальне), закріплена в Чхандогья-упанішада (VII—VI ст. до н.е.). У розвиненішому вигляді концепція кількох елементів (чотирьох або п’яти) існує в буддизмі, школі джайна і санкхья. Останній найбільше притаманні риси нау­ковості з усіх вчень раннього періоду індійської філософії. Фунда­ментальна ідея, що лежить в основі цій системи —- ідея “пракріті” (матерії), з якої шляхом послідовного розвитку виникає світ в усіх своїх модифікаціях, не має аналогів в інших культурах (наприклад, у ранній грецькій). Система санкхья була першою з індійських філо-

8 — 6-2866

софеьких систем, в якій було впроваджено ідею атома. Але ця ідея залишилася нерозробленою і не пов’язаною з вченням про елементи. Такий зв’язок сучасні дослідники знаходять в іншій філософській системі — вайшешика. У ній постулюється існування п’ята елемен­тів, що належать до категорії субстанції або фізичних реальностей. Чотири з них мають атомарну структуру; земля, вода, вогонь і повіт­ря. П’ятий — акаша — не розпадається на атоми: це всепроникаю- чий елемент, що займає простір. Простір, а також час, душа, розум належать до безтілесних субстанцій.

У цілому ж індійські уявлення про елементи перебували на пери­ферії індійського мислення, яке тяжіло більше до поглиблення в духовні аспекти буття, ніж до вивчення зовнішнього світу. Подальші сголіпя не додали до згаданих уявлень нічого принципово нового.

Відсутність давніх письмових джерел не дає змога прослідкувати процес зародження ідеї елементів у китайській культурі. Але вже в VI ст. до н. е. ця ідея існувала у формі всеохогодаючої концепції, поєднаної з іншою, власне китайською ідеєю, що виражалась у вченні про дві напівфізичні — напівметафізичні сили — інь і янь. Бороть­бою і взаємодією цих сил визначався весь світовий процес. У вченні про елементи китайське мислення виявило вражаючу стабільність: завжди визнавалися п’ять елементів — вода, вогонь, дерево, метал, і земля. Повітря (вітер) не вважалось елементом. Елементи не були незмінними сутносгями, але згідно із законом трансформації пере­ходили один в одний або “перемагали” один одного. Особливе значення, яке надавалося числу п’ять, що конституювало світ буття, є особливістю елементного вчення у давній китайській культурі.

Інакше склалася доля вчення про елементи в давній Греції. Рання грецька наука була насамперед наукою про елементи. Елемен­ти витіснили попередні антропоморфні та зооморфні божества, які продовжували зберігатися лише у сфері традиційної релігії і народних забобонів. Першими фізиками вважають натурфілософів іонійської школи — Фалеса, Анаксімандра (610— 546 рр. до н.е.), Анаксімена (588—525 рр. до н.е.), Геракліта (близько 540 — близько 480 рр. до н е.).

Починаючи з Фалеса греки були прихильниками ідеї, що в осно­ві світу речей лежить деяка кількість структурних одиниць — еле­ментів. Особливою формою розвитку елементної ідеї стало атоміс­тичне вчення Левкіппа і Демокріта. ІДе була одна з перших теоре­тичних систем фізичних поглядів. Вчення Левкіппа — Демокріта містить, по-перше, атомістичне вирішення проблем руху за допомо­гою введення нового припущення: існування — не лише буття ато­мів, а й небуття, порожнеча. Демокріт намагався розробити таке вчення про структуру континіуму, яке було б позбавлене супереч­ностей, сформульованих Зеноном. По-друге, у вченні Демокріта атом визначався як фізичне тіло, що фактично не поділяється. Водночас він розрізнив розчленування фізичне і теоретичне (мислиме). Атом, за Демократом, не містить порожнечі, а тому незмінний за своєю природою. Теорія Демокріта була зорієнтована на пояснення явищ емпіричного світу, але сам атомізм виник не тільки з емпіричних спостережень, його передумовою був теоретичний розвиток понять. Вчення атомістів було подальшим кроком у переході від міфологічних уявлень до наукових.

Атомістична теорія була першою добре осмисленою концепцією механічного пояснення природи. Її поява зумовлювалася розвитком теоретичного мислення, що вже пройшло “школу” не лише ранньої піфагорійської математики, а й “фізики” натурфілософів, логічну “школу” Парменіда і Зенона. Особливості наукової концепції ато­містів полягають, по-перше, у розумінні призначення фізичної науки як такої, що повинна пояснити явища фізичного світу; по-друге, у принципі, на підставі якого робигься пояснення “атоми — порож­неча”: механічний рух атомів; по-третє, у наочності пояснювальної моделі; по-четверте, у поділі світу на дійсний, об’єктивний і суб’єктивний. Атомісти розробили метод, який у подальшому неод­норазово застосовувався до різних явищ природи та людського буття.

На основі ранньої натурфілософії (фізики) склалася логічно розчленована і глибоко продумана програма природничо-наукового знання Арістотеля, по суті, перша форма вже не тільки філософського знання про природу, а й справді науки/про природу — фізики і біології.

Арістотель зробив крок уперед порівняно з Демокрітом, оскільки намагався розробити понятійний, апарат для визначення руху. У всео- хоплюючій системі Арістотеля грецька “елементна” наука досягла свого апогею. До Платона в грецькій науці не було загальновизнаного позначення елемента як граничної складової частини матеріального світу. Ще Арістотель нарівні із поняттям “елемент” з таким самим значенням використовував поняття “начало”. І це цілком зрозуміло, якщо врахувати, що греки не приділяли великої уваги точності термі­нології, що використовувалася (за винятком спеціальних геометрич­них термінів). Система світу, яку виклав Арістотель у природничо- наукових трактатах “Про небо”, “Про виникнення і знищення”, “Метеорологіка”, “Фізика”, була наукою про елементи: чотири земних (вогонь, повітря, вода, земля) та один “небесний” (ефір). “Елементна” наука виявилася дуже зручним способом раціонального пояснення фактів і явищ зовнішнього світу.

Споглядальна астрономія греків

Небесне склепіння зі світилами, що рухаються по ньому, греки вважали найдостойніїїшм об’єктом споглядання. Тому й головною метою досліджень астрономії античності було саме “споглядання неба і будови всього Космосу”. Безсумнівно, греки спостерігали небо і з практичних цілей: для уточнення календаря, в інтересах навігації та сільського господарства. Але не вони були головним завданням астро­номи, Цікаво, що в Давній Греції на відміну від Сходу майже не існувало астрології. Це означало, що як тільки небо увійшло в поле зору античної науки, вона разом з естетичним на перше місце вису­нула його суто пізнавальний момент.

Грецька астрономія не тільки фіксувала видимі переміщення світил по небесному склепінню або передбачала ті чи інші їх поєд­нання. Цим задовго до неї займались у Вавілоні, Єгипті та інших державах Сходу. Головне завдання астрономії греків полягало в тому, щоб розібратися в суті спостережуваних явищ і включити їх до загаль­ної схеми світобудови.

Перші примітивні спроби в цій справі зробили мілетські філо­софи, але першими спостереженнями неба зайнялися піфагорійці. Вони знали п’ять планет і намагалися знайти числові закономірності, що лежать в основі небесного устрою. У піфагорійців існувала ідея кулеподібності Землі, вони знали, що Місяць, Сонце і п’ять планет, що беруть участь у добовому русі небесного склепіння, переміщують­ся також уздовж площини екліптики, як правило, у протилежному напрямі, й мають різні швидкості.

Чітко сформулював завдання грецької астрономії Платон. Він розрізняв дві астрономії: астрономію спостереження і теоретичну астрономію. Астрономія спостереження вивчає видимий рух світил за допомогою даних чуттєвого досвіду. Але це є тільки попередня стадія вивчення. Істинний рух світил можна пізнати тільки за допо­могою розуму, і мета теоретичної астрономії і астрономії взагалі як науки ■—■ розкрити замисел творця — деміурга, який встановив за допомогою точних числових співвідношень прості та незмінні шляхи і швидкості руху небесних світил.

Такий поділ астрономії на дві частини був сильним стимулюю­чим фактором розвитку астрономії в цілому. Платон не тільки поста­вив перед астрономією завдання пізнати істинний рух світил, а й висловив припущення про те, яким він має бути. Оскільки, за ГІлато- ном, небесні світила мали божественну природу, то вони повинні були рухатися тільки рівномірно, незмінно і по колу, яке вважалося найдосконалішою кривою.

Перше розв’язання задачі, поставленої Платоном, залишив Евдокс. У праці “Про швидкості” він розробив першу геометричну модель Космосу, що дістала назву гомоцентричних сфер. Підвалиною всіх гомоцентричних моделей було уявлення про те, що Космос складається з ряду сфер або оболонокі які мають загальний центр, що збігається з центром земної кулі. Зовні Космос обмежений сферою нерухомих зірок, які обертаються навколо світової осі протя­гом доби. Рух Місяця, Сонця і п’яти планет описувався незалежною системою пов’язаних між собою сфер, кожна з яких оберталася рівно­мірно навколо своєї осі. Небесне тіло прикріплене до екватора найбільш внутрішньої зі сфер системи. Вісь цієї сфери пов’язана з двома точками наступної сфери і т.д. Отже, будь-яка сфера брала участь у русі всіх зовнішніх до неї сфер і водночас приводила до руху найближчої до неї внутрішньої сфери. Зовнішня сфера за добу оберталася аналогічно обертанню сфери нерухомих зірок. Наступна сфера оберталася в протилежному напрямі. Кількість інших сфер і характер руху обирали так, щоб результуючий рух пов’язаного з ними небесного тіла (тобто проекція цього руху на сферу нерухомих зірок) максимально точно відбивав видимий рух цього тіла по небесному склепінню. Рух Місяця і Сонця Евдокс змоделював за допомогою трьох, а планет — чотирьох гомоцентричних сфер.

Наступним етапом у розвитку теорії гомоцентричних сфер була модель Арістотеля. Евдокс розв’язував задачу про зображення види­мого руху небесних тіл як суми колових рухів, тобто обертань кількох гомоцентричних сфер. Звідси випливало, що система сфер даного тіла була замкненою. У моделі Арістотеля на відміну від Евдоксової сукупність гомоцентричних сфер утворювала єдиний фізичний Кос­мос, причому кожна сфера була реальним предметом, який складався з особливої речовини — ефіру і взаємодіяв із сусідніми сферами. У такий спосіб рух передавався від зовнішньої сфери через проміжні до внутрішньої. Взагалі Всесвіт Арістотель поділяв на дві сфери, що різняться своїм фізичним станом і досконалістю: сферу Землі з чотир­ма елементами —• земля, вода, повітря та вогонь —і сферу неба з п’ятим елементом — ефіром. У небесній сфері розміщуються неру­хомі зірки, найдосконаліші з усіх небесних тіл.

З часом розробляти гомоцентричні моделі припинили, оскільки вони мали явні дефекти. Наприклад, у таких моделях відстань будь- якої планети до Землі залишалася завжди незмінною, а це означало, що яскравість планет має бути також завжди однаковою, що зовсім не так. Планета з часом постійно чи набуває, чи зменшує свою яскравість. Цей факт був добре відомий грецьким астрономам IV ст. до н.е. Завдяки таким фактам, що не вписувалися в існуючі моделі, з часом в астрономії створюються негомоцентричні системи пояс­нення світобудови.