§ 3.2. Систематизація математичних знань і становлення теоретичної математики

Якщо простежити прогрес грецької науки в епоху класичної античності, то можна вижити, що до середини IV ст. до н. е. тільки одна наукова дисципліна мала право претендувати на назву науки в бігіьш-метн строгому і точному розумінні цього слова. Цією дисцип­ліною була математика. Грецька математика V—IV сг. до н. е. мала великі досягнення, вона усвідомила свій предмет і метод дослідження, а саме метод математичної дедукції, що донині залишається головним методом математичних дисциплін.

Багато вчених грецької давнини займалися математикою і зали­шили немало видатних досягнень. Праці математиків епохи еллінізму стали блискучим продовженням справи своїх попередників, що сприяло становленню теоретичної математики і досягненню логічної систематизації математичних знань. У III ст. до н.е. використання математики поширилося на інші науки —- астрономію, оптику, меха­ніку, гідростатику.

Починаючи з III ст. до н. е. протягом семи століть головним центром математичних досліджень була Олександрія. Саме тут, де об'єдналися різні світові культури, розв’язувалися великі державні та будівельні задачі, де існувало небачене ніде раніше за своїм масшта­бом державне заступництво науки, грецька математика досягла найвищого ступеня розвитку. Незважаючи на те що математична освіченість і наукові інтереси були дуже поширені в усьому еллініс­тичному та римському світі, Олександрія з її бібліотеками і Мусе- йоном настільки притягувала вчених, що майже всі видатні матема­тики (за винятком Архімеда) працювали тут. Найбільше напруження математичної творчості припадає на III ст. до н. е. Складні гідро­технічні споруди, вимоги воєнної техніки, мореплавства, розвиток геодезії і картографії, розробка точних астрономічних вимірювань та обчислень і, нарешті, розвиток механіки і оптики — усе це поставило перед математикою багато нових задач. Згідно з ними III ст. до н.е. було століттям плідного з’єднання стрімкого розвитку прикладного застосування математики з глибиною теоретичної думки. Окрім Олек­сандрії були також інші центри математичної науки, наприклад Афіни і Сіракузи, Афіни стали освітянським центром, а Сіракузи дали світу Архімеда.

Виникнення Олександрійської математики пов’язане з ім’ям Евюііда (III сг. до н.е.), який був не тільки відомим вченим, а й педагогом і систематизатором. Головна праця його життя “Начала” істотно вплинула на подальший розвиток європейської науки. У цій праці головні досягнення грецької математики V—IV ст. до н. е. були викладені в дедуктивцо-аксіоматичній формі, що залишалася взірцем і ідеалом наукової строгості для багатьох поколінь вчених. Цією формою в подальшому користувалися не тільки математики.

“Начала” Евкліда складаються з 13 книг. Перші 4 книги присвя­чені геометрії на площині. Перша книга починається з означень, постулатів, аксіом, теорем. Відомий п'ятий постулат першої книги еквівалентний “аксіомі паралельних”, згідно з якою через точку поза заданою прямою можна провести одну й тільки одну пряму, пара­лельну їй. Спроба зробити з цієї аксіоми теорему в XIX ст. примусила повністю оцінити мудрість Евкліда: це твердження було визнано аксіомою і завдяки йому відкриті інші, так звані неевклідові геометрії.

У другій книзі викладено основи геометричної алгебри, третя книга присвячена властивостям кола, у четвертій кнізі розглядаються правильні многокутники. П’ята і шоста книги відбивають вклад Евдокса в теорію відношень та її застосування до розв’язання алгеб­раїчних задач. Сьома, восьма і дев’ята книги присвячені арифметиці, десята — квадратичним ірраціональностям, вона містить виклад результатів, здобутих Теететом. В одинадцятій книзі розглядаються основи стереометрії; у дванадцятій викладено метод вибирання Евдокса. Головні результати тринадцятої книги присвячені викладу Теетета. Пізніше до “Начал” було приєднано чотирнадцяту і п’ятнадцяту книги, що не належали самому Евюхіду, а були написані в II ст. до н.е. і IV ст. н.е.

Окрім “Начал” Евкліду приписують кілька праць меншого обся­гу. Серед них “Дані”, що містять у сучасному розумінні прикладання алгебри до геометрії. Остаточно невідомо, яка частина цих праць належить самому Евкліду, а яку становлять компіляції. Але важливо, що це перші математичні праці, що дійшли до нас від давніх греків повністю.

Видатним математиком епохи еллінізму і всього давнього світу був Архімед (287—212 рр. до н.е.), який жив у Сіракузах. Найваж­ливіший внесок Архімеда в математику належить до тієї галузі, яку нині називають інтегральним обчисленням: теореми про площини плоских фігур і про об’єми тіл. Ім’я Архімеда також пов’язане з теоремою про втрату ваги тілами, зануреними в рідину, яка міститься в трактаті з гідростатики “Про плаваючі тіла”. Також відомі праці Архімеда “Вимір кола”, “Про сферу і циліндр”, “Квадратура пара­боли”, ‘*Про спіралі” та ін. До Архімеда давня наука не мала уявлень про закони природи, що мають математичну форму виразу, і обме­жувалась яскравими міркуваннями про взаємодію елементів, про причини, начала тощо. Праця Архімеда “Про плаваючі тіла” у цьому плані є проривом у майбутнє. У трактатах, написаних у формі листів до олександрійського математика Досіфея і присвячених розрахунку площин і об’ємів, а також знаходженню центрів ваги в криволінійних фігурах і тілах, Архімед удосконалив метод вибирання Евдокса і підій­шов до поняття визначеного інтегралу. Таке саме стосується також поняття похідної в його листі “Про спіралі”. Ці праці виявилися стимулом розробки аналізу нескінченно малих у Новий час. У тракта­тах Архімеда майстерна техніка обчислень поєднується зі строгістю доведень, придає його працям при їх типово грецьких особливостях східного відтінку.

Третій відомий математик еллінізму — Аполлоній із Перги (близько 260—170 рр. до н.е.). Головна праця Аполлонія “Конічні перетини” складаєтся з 8 книг. Як зазначає Аполлоній, Евкліду не вдалося дати повної теорії з цього питання. Вона була розвинута в “Конічних перетинах” Аполлонієм повно і в завершеній формі. Мате­матичні докази Аполлонія мають суто геометричний характер, і в цьому відношенні його праця є вищою точкою, якої досягла грецька геометрична алгебра. Не користуючись алгебраїчною символікою, Аполлоній у своїй праці дуже близько підійшов до методів аналітич­ної геометрії. Так, він класифікує всі три види конічних перетинів за характером рівнянь, що їх визначають, хоча ці рівняння запи­суються в словесно-геометричній формі. Фактично Аполлоній навів завершену теорію кривих другого порядку, до того ж ця теорія була викладена не тільки без будь-яких алгебраїчних символів, а й навіть без використання таких понять, як “нуль” і “від’ємна величина”, що не були відомими на той час грецьким математикам. Зазначимо, що теорія конічних перетинів Аполлонія була суто математичною, створеною задовго до того, як з’явилася реальна можливість її вико­ристання в природничих дисциплінах; тому в античності цю теорію використовували лише для конструювання параболічних дзеркал.

Після Аполлонія з Перги в математиці настав різкий спад, який пояснюють несприятливою соціально-економічною і політичною ситуацією, що склалася в Олександрії в середині II ст. до н.е. У цей період починають функціонувати інші математичні центри — Родос і Пергам. Але в І—II ст. н.е. в Олександрії відроджуються матема­тичні науки. При цьому якщо в IV—III ст. до н.е. центральним напрямком, що розроблявся олександрійськими математиками, була геометрична алгебра, то після Аполлонія з Перги цей напрямок зайшов у безвихідь, а вітчутний прогрес спостерігався у прикладній математиці (наближені обчислення) і розділах, пов’язаних з астроно­мією, картографією та оптикою.

В Олександрії цього періоду компілювання і коментування дедалі більше ставали головним видом наукової діяльності Багато резуль­татів праці античних математиків і астрономів дійшли до нас завдяки

роботі компіляторів. Важливою особливістю олександрійської мате­матичної школи вважається співіснування двох традицій —грецької і східної. Цим пояснюється той факт, що обчислювальною арифме­тикою і алгеброю єгипетсько-вавілонського типу займалися поряд і разом з абстрактними геометричними роздумами.

Одним із перших олексадрійських математиків римського періоду був Нікомах із Гераси (близько 100 р.). Він залишив “Арифметичний вступ” —найповніший з відомих викладів піфагорійської арифме­тики. Відомий астроном і математик Птолемей (близько 150 р.) виклав основи тригонометрії у “Альмагесті”. Менелай (близько 100 р.) у праці “Сферика” сформулював геометрію сфери і розглянув сферичні трикутники. Діофанг (III сг.) був представником алгебраїч­ного напрямку в математиці, нетрадиційного для грецької геометрії. Побудова “Арифметики” — головної праці Діофанта — істотно відрізняється від класичного дедуктивно-аксіоматичного способу викладу. Цей трактат є збірником завдань, що розв’язуються неза­лежно одне від одного. Діофант розглядав переважно неозначені рівняння другого та вищих порядків. В Європі Нового часу розвинуті Діофантом методи розв’язання неозначених рівнянь стали відомими тільки в XVI ст. Для означення алгебраїчних висловлювань Діофант уперше ввів літерну символіку і зробив тим самим великий крок уперед порівняно з чисельною алгеброю вавілонян і грецькою гео­метричною алгеброю класичного періоду. У працях Діофанта алгебра вперше знаходить свою власну мову.

Останній із великих олександрійських математичних трактатів написав Пагаї Олександрійський на початку IV ст. Це “Математич­ний збірник”, що складається з 8 книг, більшість яких не дійшла до нас. У цій праці Папп зібрав усе, що вважав вартим уваги в працях своїх попередників, і тому “Збірник” є безцінним джерелом відомостей про зміст втрачених праць Евкліда, Аполлонія та інших грецьких математиків. Але Папп був не тільки чудовим компілятором, а й творчіш дослідником високого класу: деякі його теореми, вдруге доведеш в XVII ст. Дезаргом і Паскалем, дали початок проективній геометрії як окремому напрямку математичної науки.

Єдина жінка-математик, ім’я якої збереглося в історії ірецької науки, — Гіпатія. Про її праці відомо небагато: вона займалася нео­платонізмом і писала коментарі до Аполлонія і Діофанта. Гіпатія 415 р. була розтерзана натовпом християнських фанатиків. & трагічна загибель символізувала кінець олександрійської наукової школи. Із занепадом античного суспільства повільно занепала також олексан­дрійська математика.

Розвиток інженерно-технічної діяльності та піднесення теоретичного рівня механічних знань

Розвиток античної техніки грецькими, а пізніше й римськими інженерами здійснювався на основі традиційних методів та рецептів, які вдосконалювалися лише іноді на грунті власного досвіду. З цієї причини антична техніка за тисячу років свого існування майже не змінилася. Деякі зміни торкнулися двох галузей техніки: суднобуду­вання і військових машин.

В елліністичну епоху в суднобудуванні були поширені кораблі з кількістю рядів гребців понад три — квадріреми або тетрери, квінкві- реми або пентери і т.д. Додавання кожного ряду створювало труднощі

3. розміщенням гребців. Зовсім фантастично звучить повідомлення про сорокорядний корабель, що начебто був збудований в Єгипті наприкінці III ст. до н.е. Цей корабель описав Калліксен Родосський. У метричних одиницях його довжина — 130,5 м, висота — 24,5 м, довжина рульових весел — 15,8 м, а гребних весел верхнього ряду — 17,5 м. Команда корабля складалася з 7250 чоловік, з яких понад

4. тис. — гребці. Кораблі, що перевозили вантажі, мали іншу форму і обходилися майже без гребців. Вітрил на них було мало і такі судна вважалися тихоходами. Найбільше з відомих торговельних суден того часу було збудоване в Сіракузах. За переказами, цей корабель буду­вався під наглядом самого Архімеда і називався “Сіракузія”. Його вантажність досягала 1800 т (при середній на той час 400—500 т), він мав команду 200 чоловік і був добре озброєним. Подальша доля “Сіракузії” залишилася невідомою. В епоху Римської імперії нама­гання будувати Кораблі-гіганти вже минули і у військовому, і в торго­вельному флоті.

Прогрес греків у галузі військової техніки був вражаючим. У IV ст. до н.е. греки вдосконалили звичайний лук і винайшли ката­пульти, найперша модель якої відома під назвою “гастрафет”. Різно­вид катапульти з використанням замість стріл каменів називався “баллістою”. Поява метальних гармат кардинально змінила характер війни: жодна фортеця не була в змозі вважати себе в безпеці перед ворожою артилерією. Прикладом цього може бути облога Сіракуз римським полководцем Марцеллом: техніка тих, хто робив осаду, зустрілася з потужнішою технікою захисників. Відомо, що обороною міста керував Архімед.

У подальшому крім катапульт і балліст класичного типу було розроблено інші різновиди метальних гармат: евтітон і палінтон — видозмінені катапульта і балліста, в яких лук був замінений двома скрутенями пружних жил. Полібол — катапульта багаторазової дії,

що була прообразом сучасного кулемета. Монанкон, або онагр — велика метальна машина на колесах, що була аналогом сучасної важкої гаубиці. Олександрійський механік Філон розповідав про інші типи метальних машин: халкотон, в якому для натягування луку використовували ковану бронзову пружину, і аеротон, в жому важелі катапульти рухалися завдяки повітрю, що стискалося в циліндрах. Незважаючи на проіресивність таких нововведень, вони не набули поширення.

У загальній характеристиці розвитку техніки визначимо два суттєвих моменти. Перший свідчить про те, що важливішим стиму­лом технічного прогресу в цій галузі завжди було соціальне замов­лення, яке було відсутнім в інших галузях життя суспільства. Наприк­лад, греки не були зацікавлені у використанні технічних пристроїв, щоб замінити мускульну силу рабів і домашніх тварин. Саме з цієї причини в період класичної і елліністичної грецької культури не було умов для розвитку машинного виробництва, хоча інженерний досвід, технічні навички та гостра думка винахідників існували повною мірою.

Другий момент полягав у майже повному відриві інженерної. діяльності від теоретичної науки того часу. Він пояснювався принци­повим відношенням самих греків до характеру технічної діяльності. Як відомо, наука в розумінні греків була синонімом безкорисливих пошуків істини, вільних від практичних потреб. І оскільки наукові заняття були шанованими саме за принципову безкорисливість, ніхто з філософів і вчених античності не робив навіть спроби поставити свої мудрість і знання на служіння практичним цілям. І все-таки в епоху еллінізму в грецькій науковій літературі з’являються тенденції, що свідчать про налагодження зв’язків між теоретичною наукою і технікою.

Свідчення тому — діяльність Архімеда ■— видатного математика і механіка, який поєднав свої теоретичні заняття з інженерним мистецтвом. Його наукові праці мали стимулом технічну практику того часу, а інтерес до створення механічних конструкцій, у свою чергу, органічно випливав із задач розв’язання або ілюстрації теоре­тичних проблем.

Архімед працював над розв’язанням проблеми центра ваги, принципу важеля, створив гвинт, удосконалив зубчасте колесо, ви­найшов багато нових машин. Він виконав теоретичний аналіз корис­них властивостей технічних пристроїв, пов’язаний із ірьома усвідом­леними на той час проблемами: виграшу в силі за допомогою техніч­них пристроїв; умов рівноваги тіл, іцо перебувають під впливом сил; розподілу ваги між опорами. Архімед використав формальний апарат

для розв’язання неформальних задач, що були висунуті практикою, і, врешті-решт, вийшов на новий рівень абстрагування.

Сукупність ранньотехнічних знань уперше прийняла систематич­ну форму завдяки зусиллям перипатетиків у традиційній для того часу формі діалогу. Архімед користувався формою послання, своє­рідних збірників теорем, кожний з яких був присвячений окремій великій проблемі, як це було прийнято в математиці. Архімед, Евклід та інші вчені того часу при систематизації наукових результатів турбу­валися про чіткість доказів, логічний зв’язок викладених знань, зручність їх розуміння фахівцями, але не намагалися пристосувати виклад до специфічних вимог навчального процесу або технічної практики. Зокрема, науково-технічні знання, представлені теоретич­ною системою античної статики, розроблялись автономно від уза­гальненого і поясненого в ній технічного досвіду і висловлювалися формалізованою мовою геометрії та за допомогою специфічних термі­нів, які не застосовувалися в повсякденній предметно-технічній діяльності.

У трактаті “Квадратура параболи” Архімед встановив зв’язок між математикою і механікою й довів суто математичні положення за допомогою механічних методів. Це була процедура, якої не знала грецька математика. Її винайдення стало можливим завдяки дослід­женням Архімеда зі статики, і насамперед теорії важеля, в яких ця галузь механіки була перетворена на точну математичну науку.

У цілому технічні досягнення Архімеда лежать у руслі розвитку античної техніки того часу. Принципова різниця між Архімедом і сучасними йому інженерами полягала в тому, що Архімед обдумав дію раду елементарних механізмів, з якими людина мала справу ще з давнини в своїй повсякденній практиці, і,отже, започаткував розви­ток теоретичної механіки — науки, яка грекам була невідома.

Приблизно в той самий період, коли жив Архімед, в Олександрії виникла нова галузь техніки, що підготувала подальший розвиток фізики газів і рідин. Це була пневматика, що грунтувалася на вико­ристанні стисненого повітря в механічних пристроях. Про те, що повітря є матеріальним тілом, пружність якого збільшується при стисненні, люди знали давно. Проте систематичне використання властивостей стисненого повітря для створення механізмів було запо­чатковане Ктессібієм Олександрійським, інженером-винахідником (близько 300—230 рр. до н.е.). Про свої винаходи Ктессібій написав книгу, яка була добре відомою в давнину, про що свідчать посилання на неї багатьох авторів. На грунті першоджерел можна створити уяв­лення про технічні досягнення Ктессібія. Вчений прославився як винахідник двоциліндрового насосу для піднімання води; водяного органу — музичного інструменту, на якому грала дружина винахід-

ника; сконструював водяний годинник та інші пристрої. Військова техніка також не залишилася поза увагою Ктессібія. Він запропонував нові конструкції метальних машин — халкотон і аеротон, в яких роль пружного тіла виконувало стиснене повітря. Ктессібій був першим в історії техніки вченим, що говорив про кінематичну пару “циліндр — поршень”.

Ще один видатний механік Олександрійської школи — Філон Візантійський (друга половина III ст. до н.е.) — написав відому енциклопедію, що узагальнювала досвід передової техніки того часу. Відомий також трактат Філона “Пневматика”, присвячений власти­востям повітря і води, численним пристроям і механізмам, що грунтуються на їх використанні (сифони і пристрої, сконструйовані за принципом сифону, водяні колеса, різні насоси та ін.). Текст “Пневматики” Філон супроводжував ілюстраціями, а математика в ньому майже відсутня: пояснення дії пристроїв дається з точки зору здорового глузду та інтуїції. Цінною для історії* науки обставиною є експериментування Філона зі своїми приборами, мета якого — продемонструвати можливості пристроїв, що працюють на основі використання елементарних властивостей води і повітря.

Серед механіків пізнього еллінізму відомий Герон Олександрій­ський (друга половина І ст.н.е.). Відоме п’ятитомне зібрання науко­вих праць Герона. Серед них — “Механіка”, “Пневматика”, “Про автомати” та ін. При написанні своїх трактатів Герон користувався досягненнями своїх попередників. У трактаті “Механіка” описуються механізми із зубчастими колесами; коловорот, важіль, поліспаст, клин гвинта, різновиди пресу. Герон описав також багато автоматичних систем, в яких найменші рухи управляючого перетворювалися на складні переміщення предметів. Такого роду автомати використову­валися в театрах (наприклад, у Театрі автоматів) і храмах для створен­ня ілюзій містичності та несподіваності. Відомо, що задовго до описів Герона в Єгипті існували автомата, що відпускали певну кількість води за кинуту в них монету.

Оскільки економічний занепад господарства держав пізнього еллінізму не сприяв стимулюванню технічної творчості, технічний прогрес розвивався досить-таки повільно. З найвідоміших техніків цього періоду можна назвати Паїта Олександрійського (друга поло­вина III ст. н.е.). З ім’ям Паппа пов’язана систематизація напрямків прикладної механіки <— “п’яти мистецтв”: пристрій для підняття маси; спорудження водопідйомних пристроїв; військові метальні машини; механічні пневматичні та гідравлічні автомати; виготовлення “небесних сфер”, що рухаються. У літературі вважається, що праці Паппа, в яких висвітлювалися досягнення “механічних наук”, буду­валися за розділами згідно з наведеною класифікацією.

Наприкінці І ст. до н.е. римський архітектор та інженер Марк Вітрувій Полліон написав "Десять книг про архітектуру”. Цією працею користувались як посібником понад півтори тисячі років. Десята книга була присвячена машинам, і тут же наведено перше визначення машини: “Машина є з’єднанням складених разом де­рев’яних частин, що мають величезні сили для переміщення ванта­жів”. Розглядалися також усі передові на той час машини та меха­нізми, що використовувались як у будівництві, так і в аграрній справі.

Вивчення світла і зору

Практичні потреби ще з давнини привернули увагу до світла і зору, ініціювали спроби пояснення явищ відображення тощо. Загаль­ноприйнятою основою були піфагорійські уявлення про зорові промені, що йдуть прямолінійно з ока і начебто обмацують предмет, який бачать. Такі уявлення були достатніми, щоб довести головні положення геометричної оптики і теорії перспективи, які розробля­лися давніми греками. Те, чим займались олександрійські математи­ки, мало відношення до геометричної оптики, або катоптрики — науки про відображення променів від дзеркальної поверхні, і скеног- рафії — вчення про перспективу.

Автором перших грецьких праць з цих питань був Евклід. У трактаті з теорії перспективи (“Оптика”) Евклід посилається на закон відображення як вже відомі і доведений автором в іншій праці — “Катоптрика”, що не збереглася. Працю під такою самою назвою мав також Архімед. В ній наводився строгий виклад усіх досягнень грецької геометричної оптики. Сам Архімед був не тільки теоретиком, а й майстром оптичних спостережень.

Трактат Герона “Катоптрика” має деякі нові положення порів­няно з працями Евюгіда і Архімеда. Герон обгрунтовує прямоліній­ність променів світла нескінченно великою швидкістю їх поширення. Він приводить доведення закону відображення, яке грунтується на припущенні, що шлях, який проходить світло, має бути меншим від будь-якого можливого. Герон розглядає типи дзеркал і наводить приклади їх застосування. Трактат Герона “Про діоптру” цікавий з точки зору розвитку вимірювальної техніки. Діотпрою називали уні­версальний візирний інструмент, що поєднував функції теодоліту і секстанту. Наводилася діоптра шляхом обертання навколо двох осей — вертикальної і горизонтальної. Для точнішого встановлення використовували мікрометричний гвинт, що саме в цій праці було описано вперше.

Можна прішустиш, що окрім геометричної оптики нагромаджу­вались знання оптики атмосферної і діоптричної, оскільки останні були систематизовані і розвинуті Птолемеєм. У трактаті “Оптика” він описує дослід з вимірювання шляхів заломлення світла при пере­ході променів з одного прозорого середовища в інше і наводить здобуті ним досить точні для того часу значення.

Створення математичної моделі Всесвіту в астрономії

Теоретичні моделі Космосу будувалися в VI—V ст. до н.е. на підставі суто спекулятивних розмірковувань і дуже мало враховували дані астрономічних спостережень. Успішний розвиток астрономії наприкінці V на початку IV ст. до н.е. сприяв збиранню великої кількості фактів про нерегулярність у русі світил по небесному склепінню, які потребували нового теоретичного осмислення, нових моделей. Необхідною передумовою створення таких моделей були математика і новий математичний апарат.

Творцем першої в історії людства геліоцентричної системи світу був Арістарх Самосський (друга половина III ст. до н.е.). Головна праця вченого, в якій було викладено його систему світу, не зберег­лася* але зберігся текст іншого трактату “Про розміри та відстані Сонця і Місяця”. Він написаний на взірець математичних праць того часу і складається з ряду теорем, що виводяться одна з одної і яким передують шість фундаментальних гіпотез, взятих зі спостережень.

На основі цих даних Арістарх робить такі висновки: відстань від Землі до Сонця приблизно дорівнює 18—20 відстаням від Землі до Місяця; діаметри Сонця і Місяця відносяться один до одного так, як і їх відстані до Землі; об’єм Сонця має приблизно в 250 разів перевищувати об’єм Землі. Виведені астрономом значення досить сильно різняться від справжніх, але вони допомогли йому в розра­хунку геліоцентричної системи.

Але незважаючи на свою прогресивність система Арісгарха посту­палася геоцентричним системам світу в поясненні руху небесних тіл. З точки зору останніх будь-які нерегулярності в русі небесних світил можна пояснити за допомогою введення додаткових колових рухів. Система Арістарха таких переваг не мала, тому подальший розвиток астрономії пов’язаний з удосконаленням геоцентричних систем.

Гіппарх (близько 190—125 рр. до н е.) першим зробив спробу розкрити механізм рухів світил, що спостерігаються. З цією метою він уперше використав в астрономії запропонований Аплолонієм із Перги геометричний метод опису нерівномірних періодичних рухів як результату складання простіших — рівномірніших колових рухів.

Для опису нерівномірного періодичного руху відомо два способи: або ввести поняття ексцентрика — кола, по якому тіло рухається рівномірно, але центр якого зміщений відносно спостерігача, або розкласти спостережуваний рух йа два рівномірних колових із спосте­рігачем у центрі колового руху.- У щй моделі по уявному колу із спостерігачем всередині , рухається не саме тіло, а центр вторинного кола (епіциклу), по якому й рухається тіло. Перше коло називається деферентом (несучою). У подальшому в грецькій астрономії викорис­товувались обидві моделі.

Гіппарх застосував перший спосіб опису руху Сонця і Місяця. Для них він визначив положення центрів їх ексцентриків, уперше в астрономії розробив метод і склав таблиці для розрахунку моментів затемнень (із точністю до 1—2 год). Гіппарх помітив, що в яскравості світла зірок відбуваються зміни. Щоб краще помічати їх, він склав каталог положень на небесному склепінні 850 зірок, поділив усі зірки на шість класів і назвав найяскравіші зірками першої величини. При порівнянні своїх координат зірок із розрахунком попередніх астро­номів Гіппарх встановив, що довгота зірок змістилися стосовно точки весняного рівнодення. Астроном правильно і дуже просто пояснив цей факт: сама точка весняного рівнодення відступає в зворотному напрямі. У результаті Сонце в своєму річному русі із заходу на схід кожного разу зустрічає точку весняного рівнодення дещо раніше, ніж рік тому. Звідси пішла назва явища — процессія -— випередження рівнодення. Відкриття процесії дало змогу астроному зробити висно­вок, що сонячний і зірковий роки відрізняються на 15 хв (за сучас­ними даними — близько 20 хв).

Започаткований Гілпархом математичний опис астрономічних явищ досяг свого довершення в системі світу видатного олексан­дрійського астронома Клавдія Птолемея (близько 87—165 рр.). Сукупність астрономічних знань давнини Птолемей виклав у фунда­ментальній праці “Велика математична побудова астрономії в XIII книгах” (в арабському перекладі — “Альмагест”). У ній автор значною мірою вдосконалив математичний апарат сферичної астро­номії — тригонометрію. Обчислені ним таблиці синусів використо­вували протягом багатьох століть. Птолемей уточнив і доповнив тео­рію руху Місяця, удосконалив теорію затемнень. Саму астрономію вчений визначив як “математичне вивчення неба”.

Птолемей додержувався арістотелевого принципу нерухомості Землі та її центрального положення у Всесвіті і намагався обгрунту­вати це. Він використовував поняття про ексцентрики, епіцикли і деференти і вперше побудував математичну теорію складних видимих рухів планет. Разом з теорією руху Сонця і Місяця вона склала його

геоцентричну систему. Теорія ГІтолемея була грандіозним досягнен­ням наукової думки в математичному аналізі явищ природи. Заплу­таний нерівномірний видимий рух планет було подано в ній як результат складання простих елементів рівномірних колових рухів.

В схемі Птолемея рух кожної планети описувався в такий спосіб. Припускалася наявність деякого допоміжного кола (деферент), центром якого була Земля. По деференту рухався центр іншого допо­міжного кола (епіцикл), по якому й рухалась Земля. Її рух виглядає рівномірним з допоміжної точки (еквант), що розташована симет­рично центра деферента. Для опису нерівномірностей у русі Місяця і планет уводилися нові додаткові епіцикли — другі, треті і т.д.

Геометрична модель світу Птолемея в кількісному відношенні була досить складною. Вона розкладала складні елементи рухів на прості і давала змогу розрахувати з випередженням положення планет на небесному склепінні в будь-який момент часу. Для цього Птоле- мей склав перші в історії астрономії планетні таблиці, за якими можна було заздалегідь обчислити положення планет з високою точністю — до 10 хв. Теорія Птолемея мала великий вплив на подальший розвиток астрономії.

У “Натуральній історії” Гая Плінія Секунда Старшого викладено космологічні уявлення автора. Світ розглядається як єдине ціле, вічне, скінченне, що має кулеподібну форму й обертається навколо своєї осі з періодом 24 год. Світ складається з чотирьох елементів, розміщених так: у периферії — вогонь, нижче — повітря, у центрі — земля з водою. Земля нерухома, а Всесвіт обертається навколо неї із заходу на схід, планети ж рухаються незалежно одна від одної із сходу на захід. Особливістю концепції Плінія є антропоцентризм — у центрі різноманітного світу завжди людина, природа також існує для людини і перед останньою стоїть завдання практичного вико­ристання її багатств.