§ 8.2. Створення аналізу нескінченно малих: диференціальне та інтегральне числення

Коло кількісних співвідношень і просторових форм, які вивчала математика XVII ст., вже не вичерпувалося числами, величинами і геометричними фігурами. Таке становшце було зумовлене насамперед упровадженням у математику ідеї руху та зміни під безпосереднім впливом нового кола уявлень та питань, що розроблялися в механіці. Шфінітезімальні підходи до принципу віртуальних швидкостей, опе­рування швидкостями точок, а не їх можливими переміщеннями, фактичне введення нових понять тангенціального та нормального прискорення — все це зумовило необхідність розробки нового мате­матичного апарату точного природознавства. Саме у працях з меха­ніки з’являється аналіз нескінченно малих, диференціальне та інтег­ральне числення, елементи диференщальної геометрії тощо.

В алгебрі існувала ідея залежності між величинами, але ж для того, щоб охопити кількісні співвідношення в процесі їх зміни, треба було зробити самостійним предметом вивчення власне залежності між величинами. Тому на перший план як головний і самостійний предмет вивчення виходить поняття функції (раніше в цій ролі вже були поняття величини та числа). В результаті вивчення змінних

величин і функціональних залежностей з’являються головні поняття математичного аналізу, які впроваджують в математику ідею нескін­ченного: границя, похідна, диференціал, інтеграл. Створюється аналіз нескінченно малих, у першу чергу, у вигляді диференціального та інтегрального числення. Основні закони механіки та фізики запи­суються у формі диференціальних рівнянь, і завдання інтегрування таких рівнянь висувається як одне з головних у математиці.

Перші роботи І. Ньютона в галузі аналізу нескінченно ма­лих у вигляді диференціальних та~ інтегральних величин з!етилйвіз 60-ті рр., а Г. Лейбніца — в~70-іі рр. XVII ст. І. Ньютон і Г. Лейбніц уперше в загальному вигляді розглянули головні для нового числення операції диференціювання та інтегрування функцій, встановили зв’я­зок між цими операціями та розробили для них загальний однаковий

цходи до розробки методів у І. Нью-

Ньютона вихідними було поняття

■■флюенти'' (змінної величини) та “флюксії” (швидкість її зміни). Прямій задачі знаходження флюксій та співвідношень між флюксіями за заданими флюентами (диференціювання та складання диферен­ціальних рівнянь) І. Ньютон протиставляє обернену задачу знаход­ження флюент за заданими співвідношеннями між флюксіями, тобто одразу,загальну задачу інтегрування диференціальних рівнянь. Така точка зору була природною для І. Ньютона як засновника матема­тичного природознавства: його обчислення флюксій є відображенням ідеї про те, що елементарні закони природи виявляються диферен­ціальними рівняннями, а завбачення ходу описуваних цими рівнян­нями процесів потребує їх інтеїрування.

ЖВ центрі уваги Г. Лейбніца було питання про перехід алгебри скінченних величин до алгебри нескінченно малих. Інтеграл розгля­дався як сума нескінченно великого числа нескінченно малих, а головними поняггями диференціального числення були диференціа­ли — нескінченно малі прирости змінних величин. З публікації праць Г. Лейбніца в Європі почався період інтенсивної колективної роботи над диференціальним та інтегральним численням, інтегруван­ням диференціальних рівнянь та геометричними застосуваннями ана­лізу. В цій галузі створився такий стиль математичної роботи, коли здобуті результати досить швидко публікували в журнальних статтях і незабаром після цього використовували в працях інших учених.

Новий період розвитку математики був означений роботами також французьких математиків Блеза Паскаля і Жерара Дезарга. Б. Паскаль винайшов лічильну машину, розробив принцип повної індукції, розвинув уявлення щодо нескінченного, зокрема нескінчен­но малого. Ж. Дезарг (1591—-1661) присвятив свої праці переважно розробці лизань проективної геометрії.

Із запровадженням у геометрію ідей руху та перетворення фігур її предмет вивчення значно розширюється; стає зрозумілим, що один і той самий рух або одне й те саме перетворення може переміщати або перетворювати різні фігури. Тому геометрія починає вивчати рух і перетворення як такі. З появою аналітичної геометрії принципово змінюється місце геометрії серед інших розділів математики. З одного боку, було знайдено універсальний спосіб перекладання питань гео­метрії на мову алгебри і аналізу та розв’язання їх суто алгебраїчними і аналітичними методами; з іншого — з’явилася можливість зобра­жувати алгебраїчні та аналітичні вирази геометрично, наприклад, при графічному зображенні функціональних залежностей. Однак остання можливість була обмежена тривимірністю простору. Таке становище призвело до того, що арифметика, алгебра і аналіз з теорією функцій розглядалися як частини “чистої” математики, що визначалась як наука про числа, величини та залежності між величинами, що змінюються. А геометрія вважалася першою частиною “прикладної” математики, яка застосовує результати “чистої'” математики та вироб­ляє свої методи для спеціального вивчення геометричних, фігур і гео­метричних перетворень.

Створення аналітичної геометрії та аналізу спричинило справжню революцію в математиці і поставило в центр досліджень нові об’єкта і методи. З цього часу математика не обмежувалася вивченням сталих величин і чисел, а починає досліджувати також змінні величини і функції як аналог механічного руху і, взагалі, будь-яких кількісних змін.

До нових галузей математичних досліджень належить також мате­матична теорія ймовірностей. Її засновниками були П. Ферма і Б. Паскаль. Інтерес до задач, пов’язаних із ймовірностями, форму­вався поступово насамперед під впливом розвитку справи страхуван­ня. Але приватні питання, які сприяли тому, що математики зверну­лися до ймовірностей, були пов’язані з грою в карти і косгі. Задачі на обчислення ймовірностей виникали також в таких науках, як статистика народонаселення та теорія методів обробки спостережень. Таким чином, нові економічні відносини в суспільстві поставили перед математикою задачу створення теорії ймовірностей, азартні ііри були лише зручною й ще досі використовуваною моделлю для аналізу понять цієї теорії.

Однак визнання зроблених в цей час відкриттів було нерівно­цінним. Праці Ж. Дезарга з проективної геометрії в XVII ст. не були продовжені, не знайшлося послідовників І. Ньютона щодо викорис­тання проективних методів. Внаслідок цього проективна геометрія була відроджена лише в першій половині XIX ст. У теорії ймовірностей до Якоба Бернуллі (1654—1705) було зроблено лише перші кроки, а відкритий ним закон великих чисел був опублікований вже на початку наступного століття. Нерші паростки машинної матема­тики, започатковані арифмометром XVII ст., отримали розвиток в придатному до практичного застосування арифмометрі, який з'явився лише в другій половині XIX ст. Навіть у галузі аналітичної геометрії, відкриття якої одразу набуло величезного значення, істотний прогрес почався лише через сто років після праць Р. Декарта і П. Ферма.

Характеристика нового етапу розвитку математики органічно пов’язана зі створенням у XVII с|г математичного природознавства, яке мало на меті пояснити окремі природні явища дією загальних, математично сформульованих законів природи. Упродовж XVII ст. дійсно глибокі математичні дослідження проводили лише в двох галу­зях природничих наук — механиці та оптиці. В інших галузях засто­сування математики обмежувалося встановленням простих кількісних закономірностей.