2.6.Статически неопределимые задачи при растяжении и сжатии

Статически неопределимыми называются конструкции, определение усилий в элементах которых является статически неопределимой

задачей. Статически неопределимые это задачи, в которых число неизвестных усилий превышает число уравнений статики. Статически определимая конструкция, в отличие от статически неопределимой, при выходе из строя одного элемента превращается в механизм.

Рассмотрим статически определимую конструкцию (рис. 2.6.1). В реальных условиях шарнирное закрепление встречается редко, но многие случаи на практике можно привести к такому закреплению.

Рис. 2.6.1. Статически определимая стержневая система

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Слабым звеном системы является вертикальный стержень. Нормальная сила в стержне определяется методом сечений.

Конструкция находится в равновесии, поэтому для плоской систе-

мы можно записать три уравнения статики. Неизвестных усилий тоже три, следовательно система (конструкция) статически определима.

Теперь изобразим статически неопределимую систему такого же типа (рис. 2.6.2). Горизонтальный брус поддерживается двумя стержнями. В реальных конструкциях горизонтальный брус имеет большое се- чение и считается абсолютно ж¼стким, то есть недеформируемым.

Рис. 2.6.2. Статически неопределимая стержневая система

Слабыми элементами системы являются вертикальные стержени 1 и 2, поэтому необходимо найти нормальные силы в этих стержнях. Применим метод сечений. Верхнюю часть мысленно отбросим и изоб-

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

разим оставшуюся. Покажем силы взаимодействия оставшейся части с отброшенной частью.

Неизвестных сил четыре, уравнений статики три, то есть это один

раз статически неопределимая конструкция. Если бы было три вертикальных стержня, то система была бы два раза статически неопреде-

лимая и так далее.

Для решения задачи воспользуемся уравнениями статики. Будем их составлять так, чтобы и не вошли в уравнения. Таким образом мы лишаемся двух уравнений, но и двух неизвестных и оста¼тся только одно уравнение

1 · + 2 · − · = 0.

Это уравнение, с точки зрения статики, является неразрешимым. Недостающее уравнение составим на основании закономерности де-

формации конструкции, выразив которую математически, получим дополнительное уравнение. Закономерность деформаций в рассматриваемом случае заключается в том, что горизонтальный брус не деформируется. После нагружения горизонтальный брус оста¼тся прямым это закономерность деформации данной конструкции (рис. 2.6.3).

Вертикальные стержени не только удлиняются, но и поворачиваются, но эти повороты черезвычайно малы и ими можно пренебречь.

Абсолютные удлинения вертикальных стержней являются катета-

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Рис. 2.6.3. Исследование закономерности деформаций

ми подобных треугольников, поэтому можно записать

1 =2

это математическое выражение закономерности деформации конструкции, а по существу недостающее второе уравнение.

Необходимо перейти от удлинений к усилиям. Воспользуемся зако-

Считается, что стержни изготовлены из различных материалов и имеют различные площади поперечного сечения. Подставим удлинения

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Это уравнение перемещений или уравнение совместности деформаций. Оно выражает тот факт, что горизонтальный брус не деформируется.

Теперь имеем два неизвестных и два уравнения. Решаем их совместно и после математических преобразований получаем

Необходимо обратить внимание на то, что внутренние силы пропорциональны внешним силам. Это результат того, что для материала справедлив закон Гука и перемещения малы.

Используя последние формулы, рассмотрим особенности сопротивления статически неопределимых конструкций.

1.Пусть ж¼сткость первого стержня 1 · 1 увеличится, тогда 1 также увеличится, а 2 уменьшится, т. е. в статически неопределимых конструкциях при увеличении ж¼сткости какого-либо элемента возрастает нагрузка на этот элемент за сч¼т разгрузки других элементов. Следовательно, изменение ж¼сткости одного или нескольких элементов приводит к перераспределению внутренних усилий в элементах конструкции. В статически определимых конструкциях такого не наблюдается там внутренние усилия не зависят от ж¼сткости, а определяются только геометрией и положением элемента в системе.

2.В статически неопределимых конструкциях часть элементов всегда недогружена. Это нежелательное явление. Заметим, что элемент

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

конструкции является полностью загруженным, если в этом элементе= [ ]. Это условие выполняется только для части элементов и никаким перераспределением ж¼сткостей невозможно добиться полной загрузки всех элементов. Докажем это.

Пусть в рассмотренной выше системе стержни выполнены из одного материала , тогда 1 = 2 = ; [ 1] = [ 2] = [ ].

раз больше, чем в первом стержне.

Таким образом, возможности материала конструкции полностью не используется. Это неприятная особенность статически неопределимых систем. Однако статически неопределимые конструкции имеют и большие преимущества они более над¼жны (большая живучесть до выхода из строя наименее нагруженного элемента). Поэтому эти системы широко применяются для наиболее ответственных узлов машин и сооружений.

3. В статически неопределимых конструкциях внутренние напряже-

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть